Кафедры

Адрес: 119899 Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механико-математический факультет, кафедра дифференциальных уравнений
Официальная страничка: http://www.math.msu.su/department/diffur/index.html
E-mail: chechkin@glas.apc.org
Тип кафедры: Отделение математики
Аудитория: 16–6

На кафедре дифференциальных уравнений в настоящее время развиваются следующие направления:

• Качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений
  Разрабатываются вопросы, сввязанные с показателями Ляпунова. Изучение проводится на основе теории функций Бэра и условной устойчивости движения. Получена классификация Бэра в различных случаях (В.М.Миллионщиков, И.Н.Сергеев), исследуются качественные свойства решений сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений (Н.Х.Розов), исследуются системы дифференциальных уравнений с неограниченной и разрывной правой частью, доказаны теоремы существования решения и исследованы свойства решений (А.Ф.Филиппов).
• Теория гамильтоновых систем
  Изучались невыпуклые положительно инвариантные области для параболических систем уравнений. Получены такого рода положительно инвариантные области для линейных систем, возникающих при добавлении диффузионных членов к гамильтоновой системе обыкновенных дифференциальных уравнений (Н.Н.Нехорошев).
• Топология действительных алгебраичесих многообразий, теория особенностей (В.И.Арнольд).
• Теория устойчивости
  Доказываются различные оценки времени устойчивости основной приближенной моды нелинейного волнового уравнения. (Н.Н.Нехорошев). Проводится разностороннее комплексное исследование асимптотических свойств решений сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными (Н.Х.Розов).
• Общая теория дифференциальных уравнений с частными производными
  Изучено поведение решений эллиптических уравнений в окрестности нерегулярной граничной точки с граничными условиями Дирихле или Неймана. Для квазилинейных уравнений указаны случаи, когда решение без априорных предположений относительно принадлежности какому-либо пространству является непрерывной по Гельдеру функцией (В.А.Кондратьев, О.А.Олейник). Получены неравенства Корна для областей сложной геометрической структуры, зависящих от нескольких параметров. Оценки констант в полученных неравенствах Корна являются асимптотически точными (В.А.Кондратьев, О.А.Олейник).
• Математические задачи гидродинамики и механики сплошной среды (О.А.Олейник, А.С.Калашников).
• Теория усреднения
• Асимптотические методы
• Уравнения с малым параметром
  Исследуются вырождающиеся параболические уравнения, описывающие нестационарное течение жидкости или газа в турбулентном режиме с различным вхождением малого параметра (А.С.Калашников). Получены оценки отклонения решения задачи Дирихле в частично перфорированной области общего вида от решения усредненной задачи. Изучена также соответствующая спектральная задача. Изучено асимптотическое поведение решения смешанной краевой задачи в полуперфорированной области и поведение спектра задачи. Предложены новые методы исследования задач в частично перфорированных областях. Изучена краевая задача для уравнения Лапласа в частично перфорированной области с условием Неймана на границе полостей. Получено асимптотическое представление этого решения при стремлении малого параметра, характеризующего перфорированную часть области, к нулю (О.А.Олейник, Т.А.Шапошникова). Рассмотрена краевая задача для системы теории упругости с быстро меняющимся типом граничных условий . Найдены условия, при которых усредненной задачей является задача Дирихле и даны оценки отклонения решения усредненной задачи от решения первоначальной задачи с параметром. Также рассмотрены спектральные свойства таких задач и доказаны теоремы о поведении спектра таких задач (О.А.Олейник, Г.А.Чечкин). Рассмотрены также задачи о колебании тел с концентрированными массами (О.А.Олейник), а также с большим количеством концентрированных масс на границе. Получены оценки скорости сходимости решений поставленных задач от решений усредненных задач (Г.А.Чечкин). Изучались вопросы устранимости особых множеств решений некоторых классов нелинейных и квазилинейных уравнений. В частности, доказано, что если Хаусдорфова размерность особенности удовлетворяет некоторому неравенству, то особенность устранима (М.В.Туваев).
• Теория нелинейных уравнений
  Рассмотрена задача усреднения для нелинейного эллиптического уравнения с осциллирующей нелинейностью. Даны оценки отклонения решения задачи от решения усредненной задачи (О.А.Олейник). Изучен класс нелинейных краевых задач, в уравнение которых входит степенная функция с показателем, зависящим от малого параметра. (А.С.Калашников).
• Теория краевых задач со свободной границей
  Исследованы условия существования классического решения задач со свободной границей, когда пересечение фиксированной и свободной границ не пусто. Разработанные методы решения системы Карлемана (аналога условий Шапиро-Лопатинского в этом случае) позволяют в дальнейшем исследовать проблему динамического угла для задач приливных течений и модели Hele-Shaw (Е.В.Радкевич).
• Аттракторы, инвариантные и интегральные многообразия дифференциальных уравнений
  Построены локальные и глобальные конечномерные интегральные многообразия для некоторых неавтономных уравнений в частных производных, в том числе и с несамосопряженной главной линейной частью. Найдена аппроксимация бесконечномерной динамики, порождаемой этими уравнениями, конечномерной динамикой на интегральном многообразии (А.Ю.Горицкий).
• Задачи теории фильтрации
• Теория псевдодифференциальных операторов
• Спектральная теория (В.А.Кондратьев, О.А.Олейник, Г.А.Чечкин, Т.А.Шапошникова).
• Вероятностные методы в теории дифференциальных уравнений
  Разрабатываются подходы к исследованию дифференциальных уравнений, имеющих случайные функции в качестве коэффициентов, дифференциальных уравнений, заданных в областях случайной структуры (О.А.Олейник, Г.А.Чечкин).

В состав кафедры в то время входили профессора, доктора наук: В.В.Степанов, Д.Е.Меньшов, В.В.Немыцкий, И.Г.Петровский, С.Л.Соболев, А.Н.Тихонов; профессора, но не доктора наук: В.А.Кудрявцев, Д.Ю.Панов; кандидаты наук: С.А.Гальперн, Н.С.Пискунов, А.Н.Черкасов.

В "Отчете комиссии по проверке работы кафедры дифференциальных уравнений по поручению дирекции МГУ 15-29 декабря 1936 г." говорится "Комиссия считает, что кафедра дифференциальных уравнений, руководимая В.В.Степановым, представляет сильный, в значительной мере научно-спаянный коллектив, обеспечивающий высокое качество лекций, упражнений, семинаров, докладов членов кафедры и других видов научной работы."

С 1930 года работал семинар по качественной теории дифференциальных уравнений, которым руководил В.В.Степанов, а затем В.В.Немыцкий. Работа семинара стимулировала развитие такого направления дифференциальных уравнений, как теория динамических систем.

С самого начала возникновения кафедры дифференциальных уравнений работал семинар по уравнениям с частными производными, которым руководили И.Г.Петровский, С.Л.Соболев, А.Н.Тихонов. Вокруг этого семинара, руководимого крупнейшими специалистами в области дифференциальных уравнений, концентрировались все исследования по теории уравнений с частными производными, проводившиеся в Москве и других городах страны. В 1950 году на этом семинаре М.В.Келдыш впервые рассказывал свою знаменитую работу о спектральных свойствах несамосопряженных операторов. Заседания этого семинара были праздником для молодых математиков.

С 1951 г. по 1973 г. кафедрой дифференциальных уравнений руководил академик И.Г.Петровский. Несмотря на большую административную и научно-организационную работу в МГУ (он являлся ректором МГУ с 1951 г.) и АН СССР (с 1953 года он был членом Президиума АН СССР), Иван Георгиевич Петровский всегда уделял большое внимание работе кафедры. Ему принадлежат фундаментальные результаты во многих областях математики: в теории функций, алгебраической геометрии, теории вероятностей, теории уравнений с частными производными, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и математической физике.

С 1935 г. по 1952 г. на кафедре работал выдающийся математик академик С.Л.Соболев. Трудно переоценить роль, которую сыграли работы С.Л.Соболева в развитии уравнений с частными производными и особенно в развитии методов, связанных с применением функционального анализа в теории уравнений с частными производными. Такие понятия, как обобщенная производная и обобщенное решение в смысле Соболева, соболевское пространство, теоремы вложения функциональных пространств, прочно вошли в науку.

Академику А.Н.Тихонову принадлежат фундаментальные работы в области электродинамики, распространения волн, сорбции газов, теории теплопроводности, теории численных методов решения уравнений с частными производными, асимптотическим методам теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Академику И.Н.Векуа, работавшему на факультете с 1952 г. по 1959 г., принадлежат работы по теории обобщенных аналитических функций, которые определяются с помощью системы дифференциальных уравнений, обобщающей систему Коши-Римана. За монографию "Обобщенные аналитические функции" он был удостоен Ленинской премии в 1963 году.

С 1954 г. по 1962 г. на кафедре работали академик Л.С.Понтрягин и его сотрудники Р.В.Гамкрелидзе и Е.Ф.Мищенко. В эти годы Понтрягин и группа его сотрудников интенсивно разрабатывали теорию оптимального управления, основы которой были изложены в их книге "Математическая теория оптимальных процессов", изданной в 1961 г. и удостоенной Ленинской премии в 1962 году.

После переезда в новое здание на Воробьевых горах, расширяется механико-математический факультет, расширяются кафедры. В этот период на кафедру зачисляются О.А.Олейник (1950), Р.С.Гусарова (1952), А.Ф.Филиппов (1953), Е.М.Ландис (1954), Т.Д.Вентцель (1957), А.С.Калашников (1959), В.А.Кондратьев (1960), В.И.Арнольд (1961), Ю.В.Егоров (1961), С.Н.Кружков (1961), Н.Х.Розов (1961), Б.Р.Вайнберг (1963), В.М.Миллионщиков (1964), М.И.Вишик (1965), Ю.С.Ильяшенко (1968), М.А.Шубин (1969), А.И.Комеч (1972), Н.Н.Нехорошев (1972). Впоследствии, на кафедру были зачислены И.Н.Сергеев (1988), А.Г.Беляев (1990), А.Ю.Горицкий (1991), Г.А.Чечкин (1991), М.В.Туваев (1993), Е.В.Радкевич (1994), Т.А.Шапошникова (1994). В различные годы на кафедре работали А.М.Ильин, В.П.Михайлов, В.В.Грушин, С.К.Годунов, Д.В.Аносов, А.Д.Мышкис.

И.Г.Петровский умер 15 января 1972 года. С февраля 1972 года работает семинар имени И.Г.Петровского. Ежегодно проводится совместная сессия этого семинара и ММО, которая является одной из самых значительных конференций в России по дифференциальным уравнениям и смежным вопросам.

С 1972 года кафедрой руководит профессор О.А.Олейник. За выдающиеся работы в области дифференциальных уравнений, функционального анализа, асимптотических методов она была избрана в 1991 году действительным членом Российской академии наук.

За годы существования кафедры сотрудниками кафедры были написаны десятки монографий, вошедших в золотой фонд науки, подготовлены сотни студентов, кандидатов и докторов наук.

За работы по проблеме устойчивости в классической и небесной механике В.И.Арнольду вместе с А.Н.Колмогоровым была присуждена Ленинская премия. В разные годы многим сотрудникам кафедры за их работы были присуждены Государственные премии СССР (Ю.В.Егоров,В.А.Кондратьев, О.А.Олейник), Ломоносовские премии (О.А.Олейник, А.Ф.Филиппов), премии ММО (Б.Р.Вайнберг, М.И.Вишик), премии Президиума Академии Наук (М.И.Вишик).