MMOnline | Варианты вступительных экзаменов | Задания мартовской олимпиады. 2000 год

08.03.01 14:33

Задания мартовской олимпиады. 2000 год

Механико-математический факультет МГУ, 2000, март

1. Решить неравенство: $\quad \frac{|x-4|}{|x-3|} - \frac{|x-1|}{|x-2|} < \frac{|x-3| + |x+2|}{|x-4|}$

2. О первых 7 членах убывающей арифметической прогрессии известно, что сумма пятых степеней всех этих членов равна 0, а сумма их четвертых степеней равна 51. Найти седьмой член прогрессии.

3. Найти все корни уравнения

$\cos{x} \sin{\frac x4} + \frac9{10}\sin{x} + 2\sin{\frac x4}\cos{\frac x2} + \sin{\frac x4} - \frac12\cos{\frac x4} - \frac9{20} = 0,$

принадлежащие отрезку $\left[ -\frac92 \pi; -\frac32 \pi \right]$

4. Перпендикуляр по боковой стороне AB трапеции ABCD, проходящий через ее середину K пересекает сторону CD в точке L. Площадь четырехугольника AKLD в 5 раз больше площади четырехугольника BKLC, CL = 3, DL = 15, KC = 4. Найти длину отрезка KD.

5. При каких значениях параметра уравнение

$\Biggl( \left(\frac32\right)^x + \left(\frac32 \right)^{a-x} - \frac35 \left(\frac32\right)^a - \frac85 \Biggr) \Biggl( \left(\frac32\right)^{2x-2} + \left(\frac32\right)^{2a-2x-3} - 4\left(\frac32\right)^{2a-5} + 2 \Biggr) = 0$

имеет хотя бы одно решение и каждое его решение целое число ?

6. Вершины квадрата PQRS со стороной $\frac{25}4$ лежат на сфере. Параллельные друг другу прямые проходят через точки P, Q, R, S и повторно пересекают сферу в точках P_1, Q_1, R_1, S_1 соответственно. Известно, что PP_1 = 2, QQ_1 = 10, RR_1 = 6. Найти SS_1 .

Последние обновления

Задания мартовской олимпиады 25 марта 2001 года. Вариант 01-3-2
10.06.01 18:17 | MMOnline
25 марта 2001г. Задания мартовской олимпиады механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова Вариант 01-3-2 1. Решить уравнение 2. Решить неравенство 3. В

Задания мартовской олимпиады 25 марта 2001 года. Вариант 01-3-1
10.06.01 18:17 | MMOnline
25 марта 2001г. Задания мартовской олимпиады механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова Вариант 01-3-1 1. Решить уравнение 2. Решить неравенство 3. В трапеции

Задачи из билетов устного экзамена 2000 года
02.04.01 21:04 | MMOnline
Задачи из билетов устного экзамена 2000 года 1. Найти все , для которых выполняются неравенства 2. Найти все тройки натуральных чисел, для которых выполняется равенство 3.

6 монет, 2 фальшивые
Имеется 6 одинаковых по виду монет. Четыре из них настоящие и две фальшивые (каждая из которых тяжелее настоящей на 1…
[полное условие]
[подсказка]
[решение]
[все задачи]