Каждый студент 2 курса должен найти человека, который согласится стать его науч.руководителем и напишет это на бумаге, которую всем выдает учебная часть. Если студент нашел себе руководителя, то на кафедру его берут, никакого конкурса и тому подобное там нету.
Некоторые отдельные организации (как эконом. поток, например, в мое время) требуют, чтобы все претенденты ходили на спецкурс на 2-м курсе и сдали его. Об этом, естественно, объявляется заранее. При этом все равно нужен научный руководитель с какой-нибудь "обычной" кафедры.
Что-то типа конкурса может быть, если к одному преподавателю хотят придти много студентов, а он, например, берет всего 2-3 человека. Он тогда может или дать им всем по задаче, или просто посмотреть на их оценки, или как-то еще. Но обычно всегда к моменту, когда надо сдать эти подписанные бумаги, все разбираются.
Если человек не нашел себе руководителя, то это плохо, тогда ему все равно кто-то должен подписать бумагу. Иногда на некоторых кафедрах кто-то один всем подписывает, а потом в начале след. семестра все эти люди распределяются как-то (по-моему, на тервере могут так сделать).
Ну и конечно, можно потом уже поменять научного руководителя и даже кафедру, и даже поток (с механики перейти на матем, с математики на экономику и т.п.).