Нужен совет

От конца к началу.
Как подготовиться - решать задачи письменных экзаменов разных лет на разные факультеты. Оптимально - если это все будет упорядочено "по темам" и "по сложности", так составлены хорошие сборники для самостоятельной подготовки и так может давать задачи хороший репетитор. И решать задачи устных экзаменов. И, конечно, выучить теорию, есть специальные книжечки, в которых разбираются теоретические вопросы устного экзамена.

Если не можете сейчас решить задачи - не такого уровня, а такого типа - это еще ни о чем не говорит. Я вот тоже втри часа ночи после первого прочтения не вполне себе представляю :) К письменному экзамену такие задачи не имеют никакого отношения, к устному - может быть, а может - и нет.

Так называемая смекалка, конечно, развивается, надо решать задачи.

Метод матем. индукции. Почитайте лучше в каком-нибудь учебнике. Если примерно, то пусть у нас есть последовательность утверждений A_1, A_2,... A_k, A_{k+1}, ...Если выполняются условия
1) A_1 верно
2) если A_k верно, то A_{k+1} верно,
тогда все утверждения верны.

Например, докажем, что 1+2+3+...+n=n(n+1)/2
Для n=1 верно. Предположим, что для некоторого n=k верно, покажем, что тогда верно для n=k+1.
1+2+..+k+(k+1)=k(k+1)/2 + (k+1) =(k^2+3k+2)/2=(k+1)(k+2)/2
то есть утверждение верно. Таким образом, по индукции, для любого n утверждение верно.

2^x + 1 = y^2 => 2^x = (y - 1) * (y + 1)
Таким образом, числа y-1 и y+1 обязаны быть
степенями двойки, при этом эти числа отличаются
на двойку. Единственная возможность:
y - 1 = 2, y + 1 = 4.
Показали, что если решения есть то в них
обязательно y = 3. Но тогда x = 3 (2^x + 1 = 9),
то есть решение (x = 3, y = 3) и других решений нет.

Дальше пока не буду писать, чтобы не мешать
думать над задачами (если они все еще интересны).
Будут проблемы - пишите.

Ничего общего такие задачи с вариантами вступительных экземенов не имеют. Насколько мне известно, теория чисел формально не входит в школьную программу => не может быть на экзамене.
Я поступал давно, можа чего и не знаю, но таких задач на экзаменах не было. Существуют стандартные разделы школьной математики, которые как правило бывают на экзаменах: уравнения\системы уравнений(но в действительных числах, а не в целых), тригонометрия, планиметрия, стереометрия и задачи с параметром - вот куда надо давить!(конечно, задачи на целые числа желательно уметь решать, но это лишь как дополнение).
Самый лучший способ поступить - решать задачи, предлагаемые в кач. вступительных на твоем факультете. Тем более, что сейчас полно таких сборников. (Я, например, решал Ткачука(хорошая книга во всех отношениях - ОБЯЗАТЕЛЬНО пролистай - не пожалеешь), есть еще сборник задач Сергеева И.Н.
Купить все интересующие тебя книги можно прямо на твоем
(в будущем) факультете или в Главном Здании на 1-м этаже.

Вот задачи, которые элементарны:

Учусь в 11 классе. Класс обычный, без углубленного изучения математики и физики. Во-первых, прошу помочь с задачами:
1)Найти число делителей числа 1024
2) Найти число делителей числа 210
3) Найти число делителей числа 10!

Число х по условию задачи предполагается натуральным.
Из четности ф-ции у^2 : (x,y) - решение, то и (x, -y) решение.

Рассмотрим левую и правую части уравнения по модулю 10. Т. е. на какие цифры могут заканчиваться числа в уравнении?

Квадрат целого числа может оканчиваться только цифрами:
0, 1, 4, 5, 6, 9 - проверьте сами! (1)
В левой части получаем последние цифры при
х = 1 -- 1
х = 2 -- 3
х = 3 -- 9
х = 4 -- 3

n! при n > 4 содержит в своем разложении на простые множители
числа 2 и 5 => он делится на 10 => заканчивается нулем.
Отсюда заключаем, что в левой части последняя цифра
при x > 4 - всегда 3.

Принимая во внимание (1), есть толко два возм. случая:
x = 1 V x = 3

Ответ: (x,y) = {(1,-1), (1,1), (3,-3), (3,3)}

Вот так вот. Задача на 5 минут.



This is like an expression of rage by the people,
who feel neglected and turned away by the system.

subj

Все задачи, в которых встречается число такого вида: mm.....m[n раз], m - цифра, решаются приведением данного числа к виду:
(m/9)*(10^n - 1).

Итак, задача 6.
Сумма = (1/9)*((10^1 - 1) + (10^2 - 1) + ... + (10^n - 1))[n раз] = (1/9)*(11....10[n раз] - n)