21.03.2005 20:54 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 21 | Несколько задач с вариантов прошлых лет Всем доброго времени суток. Хотелось бы, чтобы кто-нибудь помог со следующими задачками: 1). Решить неравенство 1/|7-log3_3x|+1/|4-log9_(9x^2)|<=1/|log9_81x|. < log3_3x - логарифм по основанию 3 от 3х ; |...| - модуль> 2). Решить уравнение cos(x/2)*sqrt(5cos(2x-PI)+8sin(x+PI/2)-5)+sin(x/2)*sqrt(2cosx)=0. < sqrt - квадратный корень > 3). В треугольнике АВС с углом В=50 градусов и стороной ВС=3 на высоте ВН взята такая точка D, что угол ADC=130 градусов и AD=sqrt(3). Найти угол между прямыми AD и BC, а также угол СВН. 4). Числа p и q подобраны так, что уравнение 2^(1+x)+p+q*2^(1-x)=0 имеет ровно два различных корня, а их сумма равна 4. Найти произведение всех различных корней уравнения (x^2-5x-300)(x^2-px-q)=0. 5). Пирамида SABCD с боковыми ребрами AS=BS=2 вписана в сферу радиуса 5/3. Линия пересечения плоскостей ASD и BSC касается сферы. Найти объем пирамиды, если AB=BC=8/5. 6). Найти все значения a, при каждом из которых неравенство logx_((x-a)/(1-ax))+logx-1_((x-a-1)/(a+1-ax))>=0 имеет хотя бы 3 целочисленных решения. В задачах 1, 2 и 4 хотя бы напишите просто ответы, а в 3, 5 и 6 - можно и с решением (если не трудно) =)
|
21.03.2005 22:13 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 21 | опечатка Пардон, в 5) *AS=BS=CS=2*
|
21.03.2005 22:22 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 66 | задача 3 вроде бы 90 и 20 Точка D - ортоцентр. Доказать можно так: известно, что угол между высотами дополняет до 180 угол между сторонами, к которым они проведены, а поскольку ГМТ, из которых AC видно под углом 130, есть две дуги, то в данной полуплоскости такая точка единственна, следовательно, ортоцентр совпадает с точкой D. То есть первый из искомых углов прямой. Далее, пусть O - центр описанной окружности, OP - перпендикуляр на BC, тогда OP = AD/2 (есть такая лемма) = sqrt(3)/2. Угол BOP равен углу BAC (тривиально). Из прямоуг. треугольника BOP найдем его - tg(BOP)=sqrt(3). BAC = 60 => ACB = 70 => CBH = 20.
|
22.03.2005 14:15 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 70 | №4 У меня получилось 225. Ancor, do you want more?!..
|
22.03.2005 14:58 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 21 | №4 А у меня почему-то 1200... Ты как решал?
|
22.03.2005 18:07 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 70 | Мой вариант: Я рассуждал так: произведение корней уравнения (x^2-5x-300)(x^2-px-q)=0 равно произведению их свободных членов------------> произведение=300*q, нужно найти q: 2^(1+x)+p+q*2^(1-x)=0 2*2^x+p+q*2/2^x=0 l*2^x 2*2^2*x+p*2^x+2*q=0 Пусть 2^x=y>0, 2y^2+y*p+2*q=0 D: p^2-16*q>0 y1+y2=4=-p p=-4 2y^2-4*y+2*q=0 y^2-2*y+q=0 D/4=1-q>0 q<1 y1+y2=2 y1*y1=q дальше я не знал что делать и решил подобрать y1 и y2: подошли 1/2 и 3/2, а так как y1*y2=q=1/2*3/2=3/4. 3/4*300=225. Укажи пожалуйста на ошибку. Ancor, do you want more?!..
|
22.03.2005 21:41 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 21 | Ошибку нашел Цитата
play_ писал(а) :
y1+y2=4=-p
p=-4
Забыл вернуться к замене переменной: не у1+у2=4 , а х1+х2=4 !!!
|
22.03.2005 22:11 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 21 | А вот мой вариант Из уравнения 2у^2+p*y+2q=0 нахожу у: D=p^2-16q y1=(-p+sqrt(p^2-16q))/4 --> 2^x=(-p+sqrt(p^2-16q))/4 --> x1=log2_((-p+sqrt(p^2-16q))/4) y2=(-p-sqrt(p^2-16q))/4 --> 2^x=((-p-sqrt(p^2-16q))/4 --> x2=log2_(((-p-sqrt(p^2-16q))/4) x1+x2=4 --> log2_((-p+sqrt(p^2-16q))/4)+log2_(((-p-sqrt(p^2-16q))/4)=log2_(((-p+sqrt(p^2-16q))/4)*((-p-sqrt(p^2-16q))/4))=log2_q=4 --> q=16 300*q=300*16=4800 (пока писал решение нашел у себя вычислительную ошибку, так что ответ не 1200, а 4800 если все правильно). PS: в конце конечно надо было еще проверить, нет ли совпадающих решений, т. к. в условии написано "найти произведение всех _различных_ корней уравнения" , хотя по-моему корни не совпадают.
|
23.03.2005 14:49 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 70 | 4_mario разобрался, спасибо за помощь :) а в первой ты заменял log_3_x=y? у меня после замены стало 1/l6-yl + 1/l3-yl =<2/ly+4l, а дальше получилось xE (0:1/81) Ancor, do you want more?!..
|
23.03.2005 22:29 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 21 | А у меня другой ответ... Я решал через такую же замену, потом раскрывал знаки модуля на разных промежутках, только ответ у меня другой получился: х Е (0;1/81)U(1/81;1]. Если подставить любое число из второго промежутка (например 1), то получается верное неравенство, значит ответ правильный =) А как насчет 2-й или 6-й задач? А то у меня 6-я никак не получается, а во 2-й не уверен в правильности ответа :^(
|
24.03.2005 09:05 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 70 | 4_mario Так ты на мехмат решил поступать? Откуда брал задачки, очень интересует год и факультет. Ancor, do you want more?!..
|
24.03.2005 09:08 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 70 | 4_mario Как посоветуешь готовиться, если я сейчас не могу толком решить даже такие задачи? Ancor, do you want more?!..
|
24.03.2005 15:43 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 222 | mm2003 |
24.03.2005 18:53 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 21 | Откудая брал задачки Может и ММ2003, не знаю не смотрел... А задачки эти я взял у моей училки по алгебре в школе. У нас там есть что-то вроде доп. занятий ОЛ ВЗМШ (Открытый Лицей "Всероссийская заочная многопредметная школа") от МГУ, может кто-то знает такой... Так вот оттуда (из МГУ) нам присылают задания (в том числе те, которые мы сейчас здесь решаем) , мы их выполняем и отправляем обратно. Сказали, что к концу 11го класса дадут то ли корочки, то ли дипломы, которые, впрочем, никаких преимуществ при поступлении не дают...
|
24.03.2005 21:21 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 222 | 6 люди можь кто че добаыит вот смотрите до чего я дошел f(x)+f(x-1)>=0 f(x)=f(1/x) а че дальше можь кто додумает!!!!!!!!!!!!!!!
|
27.03.2005 03:32 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 21 | Не понял Что-то я не пойму, что это за f(x)... Как до такого дошел, напиши, а то я похоже совсем тупым стал от этой математики :)
|
27.03.2005 16:48 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 222 | пояснение пусть первое выр-ие =f(x) тогда второе это f(x-1) подставь и проверь
|
