Две задачи

Автор темы XCode! 
16.06.2005 12:07
Две задачи
=====задачка №1
Один из углов треугольника равен разности двух других, наименьшая сторона треугольника равна 1, а сумма площадей квадратов, построенных на двух других сторонах, вдвое больше площади описанного около треугольника круга. Найти наибольшую сторону треугольника.
=====Задачка #2
В выпуклом четырехугольнике ABCD точки K,L,M,N - середины сторон AB,BC,CD,AD соответственно, а O - точка пересечения отрезков KM и LN. Найти AC и BD , если KM=a, LN=b и угол LOM = pi\3 .
16.06.2005 23:04
Решение задачи №2
KLMN - паралллелограм по постр., NO=OL=NL/2=b/2, KO=OM=KM/2=a/2
из треуг-ков NOM и NOK по теореме косинусов находим, что KN=[sqrt(a^2+b^2-a*b)]/2, NM=[sqrt(a^2+b^2+a*b)]/2. Но по построению KN - средняя линия в треуг.BAD , KN=BD/2, BD=2*KN=sqrt(a^2+b^2-a*b), аналогично с треугольником ADC, AC=2*NM=sqrt(a^2+b^2+a*b)

AC=sqrt(a^2+b^2+a*b)
BD=sqrt(a^2+b^2-a*b).

P.S. откуда задачи?



Ancor, do you want more?!..
16.06.2005 23:11
они, вообще говоря, очевидные
2. KLMN - параллелограмм (т.к. по теореме о средней линии KL и MN равны и параллельны половине AC). Т.о. имеем параллелограмм с диагоналями a и b и углом между ними pi/3. По теореме косинусов находятся его стороны - 1/2 sqrt(a² + b² ± ab). По доказанному диагонали AC и BD вдвое их больше.

1. Пусть углы треугольника alpha, beta, beta-alpha, тогда (сумма углов треугольника) beta=pi/2.
Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Let a=1, тогда возможны два случая.
Пусть а - наименьшая. Тогда b²+c² = pi/2*c². (pi/2 - 1)*c² = b². Квадрат второго катета действительно больше половины квадрата гипотенузы, противоречия нет, отсюда b²=(pi-2)/(4-pi).
Теперь пусть а - больший катет, тогда аналогично b²=(4-pi)/(pi-2).

Отсюда очевидно ищется гипотенуза.

17.06.2005 01:59
Попытаюсь потом решить
Как вы думаете получится?
17.06.2005 21:55
решение №1
что сложного?
пусть углы у тр A,B,A-B... тогда А=90
тогда наиб сторона - напротив А.... (днина с)

1*1+b*b=с*c
b*b+c*c*=2*pi*R*R
R=c/2

вот и всё...

с=sqrt(2/(4-pi))>1
17.06.2005 22:05
о 1 задаче...
более длинного способа этой за-чи я ещё не видил..
21.06.2005 02:56
Две задачи
Всем большое человеческое спасибо :D
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти