Возьмём произвольный треугольник АВС и докажем, что он равнобедренный (!).
Проведём биссектрису угла А. Она пересечёт срединный перпендикуляр к стороне ВС в т. О (точка пересечения всегда находится вне треугольника, но это абсолютно не влияет на суть задачи). Треугольник ОВС равнобедренный, т.к. т. О лежит на срединном перпендикуляре (ОВ=ОС, угол ОВС = углу ОСВ). Опустим перпендикуляры из т. О на прямые АВ и АС, основаниями этих перпендикуляров будут точки Н1 и Н2 соответственно. Рассмотрим треугольники ОВН1 и ОСН2. Они равны по гипотенузе и катету (ОВ=ОС, ОН1=ОН2, так как О лежит на биссектрисе угла А). Значит, угол ОВН1 = углу ОСН2. Отсюда следует, что угол Н1ВС = углу Н2СВ (каждый из этих углов есть сумма попарно равных углов). Углы В и С треугольника являются внешними для углов Н1ВС и Н2СВ, потому они также равны, т. е. треугольник АВС равнобедренный.
И в чём здесь проблема?! Понимаю, что проблема - фуфло, и ошибка где-то на поверхности, но никак не могу найти её :(
Наверное, я сегодня сильно переутомился. Помогите найти ошибку.
