Стереометрия

Автор темы Гриша 
06.03.2008 22:13
Стереометрия
Задача такая:
Основанием пирамиды SABCD служит прямоугольник со стороной |AB| = 4 и |AD| = 12. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S, центр симметрии основания O и точку N, лежащую на ребре BC, если |SA| = 3; |SB|=5 и lSOl=7?
Что-то никак не получается решить... Заранее спасибо :)
09.03.2008 13:20
Тяжело верится в то, что мехматяне не могут решить школьной задачи...
Тяжело верится в то, что мехматяне не могут решить школьной задачи :) Я так понимаю просто решение длинное и писать его лень. Мне это и не нужно - только идею подскажите....
09.03.2008 20:42
Типа, идея.
Первое, что бросается в глаза: SA=3, AB=4, SB=5 - это классическая "пифагорова тройка", т. е. треугольник SAB - прямоугольный. Соответственно возникает мысль - а не перпендикулярна ли прямая SA плоскости основания пирамиды? Центр симметрии прямоугольника - это точка пересечения его диагоналей. Простейшие расчёты показывают: (SA в квадрате) + (AO в квадрате) = (SO в квадрате). А это значит, что мысль о перпендикулярности прямой SA плоскости основания пирамиды оказалась верной. Все интересующие нас сечения - треугольники вида SMN, где N - точка на отрезке BC, а M - точка на отрезке AD (это вполне очевидно). SO - их общая медиана. Соответственно длины их высот не меньше 3=AB (теорема о перпендикуляре и наклонной в пространстве) и не больше 7=SO (теорема о перпендикуляре и наклонной на плоскости). Длины всех возможных оснований принадлежат числовому отрезку [|AB|=|CD|; |AC|=|BD|]. Есть основания предполагать, что случай |MN|=|AB| и есть наш "клиент" (отрезок MN, разумеется, проходит через точку O). Опять же, простейшие расчёты показывают: треугольник SMN - тоже прямоугольный. Поэтому его площадь равна |SM||MN|/2. И вот теперь, Гриша, я предлагаю тебе самостоятельно доказать, что это и есть наименьшее из возможных значений площади интересующего нас сечения =)))
Подсказка: вероятнее всего, "пошевелив" точку N на отрезке BC, можно всё как следует обосновать (с помощью той же формулы Герона). Мне этим заниматься как-то не в кайф, а тебе наверняка будет полезно.

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти