19.03.2009 17:55
Решить задачу: (sin(x))^5 + (cos(x))^5 = 1
Помогите решить задачу. Это из сборника Ткачука "Математика абитуриенту", тема - Тригонометрия. Сведение к однородным уравнениям.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 04.04.2009 20:53.
20.03.2009 11:44
...
Переносите единицу в левую часть, используете основное тригонометрическое тождество и представляете единицу в виде суммы квадратов синуса и косинуса, выносите эти квадраты за скобки и получаете вот такое уравнение:
((sin(x)^3) - 1)*(sin(x))^2 + ((cos(x)^3) - 1)*(cos(x))^2 = 0.
Вспоминаете, что синус и косинус по модулю не больше единицы, в связи с чем оба произведения в левой части нашего уравнения должны равняться нулю. Т. е. либо sin(x)=1 либо cos(x)=1. Вот и всё =)))



Редактировалось 1 раз(а). Последний 20.03.2009 11:48.
20.03.2009 14:44
Спасибо огромное!
Не понимаю только, зачем Ткачук засунул его в раздел, где уравнения сводятся к тангенсам, я не один час пытался выделить множители (cos(x)-1), (sin(x)-1), (cos(x) + sin(x) -1), но ничего не получалось(((.
20.03.2009 19:36
...
Наверное это был контрпример к методу сведения к тангенсам =))))))
03.04.2009 01:14
другое решение
а мне больше нравится другое решение(хотя идея и та же)
составляем систему:
(cos(x))^5 =< (cos(x))^2
(sin(x))^5 =< (sin(x))^2
складываем неравенства и получается что левая часть уравнения меньше либо равна правой. так что (cos(x))^5 = (cos(x))^2 и (sin(x))^5 = (sin(x))^2 что давёт, соответственно, не так много вариантов к рассмотрению =))
12.04.2009 23:47
Задача
Помогите решить одну задачку.

2+cos x =(корень из 3)*(sin 3x/4)*sin x

Скажите направление,с чего тут начать,никак не могу раскрутить её..
13.04.2009 11:10
Направление
слева выражение в пределах от 1 до 3, справа выражение в пределах от -sqrt(3) до sqrt(3)
то есть -1 <= cos(x) <= -2 + sqrt(3) при таких ограничениях
модуль 0<= |sin(x)| <= sqrt( 4*sqrt(3) - 6 )
значит правая часть в ограничениях от -sqrt(3)*sqrt( 4*sqrt(3) - 6 ) до sqrt(3)*sqrt( 4*sqrt(3) - 6 )

sqrt(3)*sqrt( 4*sqrt(3) - 6 ) = sqrt(12*sqrt(3) - 18)
Сравним последнее выражение с единицей, получим новые ограничения на косинус, потом снова для правой части. Вполне возможно что решения не будет, так как увеличивая значение косинуса - уменьшается значение синуса и ограничения на правую часть

было было но прошло
14.04.2009 23:56
решение, задача с Ломоноса, если не ошибаюсь и в ЕГЭ была такая идея))))
сначала переносим всё в правую часть, затем справа сворачиваем по формуле дополнительного аргумента получаем: sqrt(3(sin 3x/4)^2+1)*sin(x-y)=2 (y- какой-то получившийся угол, писать какой не буду - долго) левая часть меньше либо равна двум, равенство достигается только при sin 3x/4)^2 = 1 а дальше решаем что получилось
13.07.2009 14:35
Решить задачу: (sin(x))^5 + (cos(x))^5 = 1
ППц, я ща тоже начал заниматься по этому учебнику и тоже застрял на этом примере. Тока не поверишь, но я потратил на этот пример 3-и дня и решил заглянуть в ответ (думал там будет подсказка), а там лишь ответ :).

Первый день я пытался привести это уравнение к виду P(sinx)^2 +Tsinxcosx + Q(cosx)^2, но потом до меня допёрло, что это гиблое дело, и я попытался свернуть уравнение, но у меня так ничего и не вышло :).


Такая простенькая, на первый взгляд, задача, а столько доставила мне проблем... =)
13.07.2009 23:42
...
Цитата
pixar
Такая простенькая, на первый взгляд, задача, а столько доставила мне проблем... =)
Великая теорема Ферма на первый взгляд тоже простенькая такая задача =)))
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти