Задачи на госах

Автор темы webmaster 
08.06.2001 12:02
webmaster
Задачи на госах
Предлагаю собрать для потомков, а может и для тех, кому еще предстоит сдавать гос в ближайшее время задачи или типы задач, которые дают на госах. Потом мы их положим в раздел материалы.

Вот те задачи, про которые слышал я:

1. Решить линейный дифур с многочленом или квазимногочленом в правой части.

2. Найти особые точки (комплан) и определить их тип.
Примеры функций, которые могут дать:
e^(1/z), sin(sqrt(z))/sqrt(z).

3. Посчитать вычет функции в точке.

4. Найти группу наименьшего порядка, которая не является комутативной.

5. Привести пример рядя, который сходится условно.

6. Чему равна сумма ряда 1-1/2+1/3-1/4+...

7. Доказать, что у непрерывной на отрезке функции число экстремумов на этом отрезке не более чем счетно.

Пожалуйста, дописывайте известные вам задачи в эту ветку форума.
08.06.2001 13:01
qwerty
webmaster писал(а): > 1. Решить линей
webmaster писал(а):

> 1. Решить линейный дифур с многочленом или квазимногочленом в
> правой части.

Например, y''+y=sin(x)

> 2. Найти особые точки (комплан) и определить их тип.

еще 1/(exp(z)-1)

> 4. Найти группу наименьшего порядка, которая не является
> комутативной.
Не комутативной, а коммутативной

> Пожалуйста, дописывайте известные вам задачи в эту ветку форума.
8. Найдите собственные значения матрицы n*n
11000...0
01100...0
00110...0
...
000...011
100...001
(единицы стоят на главной диагонали, над главной диагональю, и в левом нижнем углу).

9. Имеется группа преобразований в R^3 (повороты + сдвиги, не помню, как ее следует обозначать...). Будет ли в ней подгруппа всех поворотов нормальной?


09.06.2001 23:12
Кибкало Алексей
9. Решить уравнение sin(z) = 2. 10. При
9. Решить уравнение sin(z) = 2.
10. Привести пример функционального ряда, сходящегося, но не равномерно.
11. Обратить матрицу 3x3 :)
11.06.2001 00:14
Алексей Ремизов
Припоминаю еще три стандартные задачки:
Припоминаю еще три стандартные задачки:

1. Посчитать гауссову кривизну в точке конуса (не в вершине).

2. Дана квадратичная форма F(x,y,z). Какую поверхность задает уравнение F(x,y,z) = 0 ? Привести к каноническому виду.

3. Обязан ли любой линейный оператор R^2 ---> R^2 иметь одномерное инвариантное подпространство?

И еще я помню 2 забавных блиц-вопросика, но я не уверен, что их задавали на госах, может быть, и на вступительных в аспирантуру (впрочем, невелика разница). Вот они:

4. В 3-мерном пространстве дана плоскость, на ней нарисована гипербола, а вне плоскости дана точка. Если эту точку соединить отрезком с каждой точкой гиперболы, получится некая поверхность. Что это за поверхность?

5. Верно ли, что интеграл по отрезку от непрерывной положительной функции больше нуля? (Тут юмор в том, что отрезок можно по-разному ориентировать, отсюда разные знаки...)

P.S. Еще иногда просят посчитать какой-нибудь интеграл в духе Демидовича. Иногда это бывает трудно сделать, потому что народ к 5-му курсу разучивается считать интегралы.

P.P.S. Не совсем по теме один прикол. Мой друг рассказал мне, что во время вступительных в аспирантуру на кафедре то ли ТФФА, то ли Матана была задачка: посчитать вариацию синуса на отрезке [0, \pi]. Правда, ее задали человеку уже после того, как он все предыдущие задачи (более трудные) не смог решить. Так что не думайте, что все задачки такие простые...


14.06.2001 20:56
неважнокто
| 2 3 | ^ k | 3 2 | Посчитать для лю
| 2 3 | ^ k
| 3 2 |

Посчитать для любого k
15.06.2001 15:28
Jash
Не понял условия! Чего собственно надо п
Не понял условия! Чего собственно надо посчитать.неважнокто писал(а):
>
> | 2 3 | ^ k
> | 3 2 |
>
> Посчитать для любого k

15.06.2001 15:47
kvs
Дык, того, возвести матрицу в степень k,
Дык, того, возвести матрицу в степень k, где k -- любое.
Вот только в матрице, по-моему, ошибка -- слишком сложно
для ГОСов получается с такой матрицей.
15.06.2001 16:18
Денис Кириенко
> Вот только в матрице, по-моему, ошибка
> Вот только в матрице, по-моему, ошибка -- слишком сложно
> для ГОСов получается с такой матрицей.

Чего сложного? Там главная сложность - с жордановой формой. А у нее два различных собственных значения - никаких сложностей.

15.06.2001 17:13
kvs
Ну, нехорошие они, эти собственные значе
Ну, нехорошие они, эти собственные значения -- какие-то корни,
а на ГОСах должно все по-простому быть. Можно и без жордановой
формы (2x2!). Hint -- интерполяционный многочлен + теорема Гамильтона-Кэли.
15.06.2001 18:46
moro
Какие корни? -1, 5 - довольно хорошие ч
Какие корни?
-1, 5 - довольно хорошие числа
15.06.2001 20:39
kvs
Пардон, матрицу неправильно списал с экр
Пардон, матрицу неправильно списал с экрана ;-) (-)
19.06.2001 19:46
Антитело
Числовой ряд сходится. Сходится ли ряд и
Числовой ряд сходится. Сходится ли ряд из а) квадратов б) кубов его членов?
28.06.2001 18:52
Аспирант Один
Еще кое-что...
1. В общей постановке: изучить функцию 1/(z^e). (Хороша точка z=0!)
2. Можно ли верхнюю полуплоскость во внутренность круга конформно перегнать?
3. Знать функцию Ван-Дер-Вандера полезно..
4. Привести пример функции определенной на всей прямой, непрерывной лишь в одной точке и дифферец. в этой точке.
5. Привести пример ф-ции из С(оо) (класса С-бесконечность), которая не аналична.
6. Найти максимальный идеал в кольце непрерывных функций на отрезке. (Несмотря на сложность условия, задача для первого курса.)
7. Построить касательные к окружности из точки вне окружности с помощью одной линейки. Центр окружности не отмечен. (Первый курс).
8. Описать все подгруппы группы S(4). 4 - это нижний индекс.
9. Доказать невозможность задания умножения над R^(2n+1) - линейное пространство нечетной размерности, n>0, так, чтобы получилось поле. (первый курс).
03.06.2003 22:25
Маленькое :) замечание к последней задаче (к 7-й)
Цитата

7. Доказать, что у непрерывной на отрезке функции число экстремумов на этом отрезке не более чем счетно.

В такой постановке задача довольно проста. Но забавно, что условие непрырывности на самом деле излишне. Излишне и считать область определения именно отрезком. Тогда решение, правда, сильно усложняется (т.е. оно, конечно, просто, но носит уже олимпиадный характер :)).

04.06.2003 01:21
КисаВ.
Посчитать i^i ( i --- комплексная единица)
04.06.2003 02:01
гоголь
Посчитать 2х2 (2=1+1)
сабж
тха-ха-ха-ха-ха
04.06.2003 12:45
Manwe
задачи
1)вычислить предел корень n'й степени
из n, при n стремящимся к бесконечности :-)
2)вычислить интеграл по единичной окружности
1/sqrt(z)
3)решить y''+4y=0, y(0)=1, y'(0)=0
4)определить тип поверхности
x*x-xy-z*z=0
5)привести пример ряда у которого на
окружности сходимости есть как точки в которых он сходится так и точки в которых он расходится
06.06.2003 20:44
iogan18tm
Еще задача.
Пусть M - всюду плотное множество в R. Найти функцию f : f - разрывна на M, и непрерывна на R\M.
09.06.2003 00:18
Еще
Привети пример, когда несобственный интеграл нельзя интегрировать по параметру.
09.06.2003 20:38
Helen
:)
Привести пример условно сходящегося ряда. Указать порядок его членов такой, чтобы сумма равнялась бесконечности.

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти