Литематика матераторов

Автор темы Editor7 
25.12.2006 18:17
Литематика матераторов
давайте откроем литературную страничку.
---- ПИШИТЕ ВСЕ СЮДА СВОЙ КРЕАТИВ!!!!!

я выпускник ФМШ и мехмата, а теперь занимаюсь изданием книг писателей, издающихся за собственый счёт (ПИСС(С)Умберто Эко).
для начала -

МАТЕМАТИКА ЛИТЕРАТОРОВ. Очерк первый. ЗАДАЧА ПИФАГОРА

- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы.
- Вот сколько, - ответил Пифагор, - половина изучает математику, четверть - природу, седьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть еще три женщины.

В учебнике задача там, где уравнения.
Ну, тогда и составляем уравнение:

X/2 + X/4 + X/7 + 3 = X

Приводим к общему знаменателю (с ужасными, подозрительными дробями вроде 11/28), получаем
в ответе X=28. С ответом совпадает. Подставляем в уравнение - да, совпадает. Но что-то, что-то здесь не так...

Формулировка задачи забавна, литературна. Математика важнее всех, природа - вполовину меньше, проводить время в размышлении - сомнительное занятие, во всяком случае, не изучение, а женщины вообще "кроме того".

А если кто изучает и математику, и природу? Возможно, кто-то из изучающих проводит время в размышлениях. Да это совсем не та задача! Уравнение не годится. К тому же Пифагор не применял уравнений и не приводил дроби к общему знаменателю. Ничего этого тогда не было. И что теперь делать? Эти X/2, X/4 и X/7 могут совмещаться, да еще 3 женщины могут входить то ли в X/2, то ли 2 в
природу, одна в размышления, или еще как.
Впрочем, нет - в условии сказано "кроме того".

А все-таки, женщины - ученики, или они "кроме" учеников?
Допустим, у Пифагора женщины не ученики. Тогда про
учеников известно только то, что половина учит математику, четверть... и т.д. Но тогда годится любое число, которое делится на 2, на 4 и на 7. Таких чисел сколько угодно. Например, учеников может быть 2x4x7=56, а также 560,5600... И во всех случаях три женщины кроме того. Вряд ли Пифагор ставил такую дурную задачу
(математики называют такие задачи "тривиальными"). Значит, 3 входит в искомое число X, а остальное - совмещенные полностью или частично половина, четверть и X/7.

И кто сказал, что у задачи одно решение? Может быть, если по-разному распределять учеников по предметам, подойдет несколько чисел? Совсем непонятно, как решать.

Рассмотренный тривиальный случай дает подсказку. Рассмотрим те самые большие числа: 56,5600... Если вычесть указанные доли,остается больше 3 учеников, которые "кроме" (X/2+X/4+X/7).
Попробуем почувствовать (но не доказать), что большие числа не подходят. Ведь математики, натуралисты и размышляющие в сумме образуют некоторую ДОЛЮ общего числа учеников; тогда те, что кроме, тоже образуют какую-то ДОЛЮ. А при увеличении общего числа все доли растут, женская тоже, и именно поэтому при больших числах остается больше 3 женщин.

Теперь видно, как решать задачу. Проверим число, которое заведомо делится на 2,4,7 - это 2x4x7=56. Оно не подходит - 56 - (56/2 + 56/4 +56/7) = 56 - (28+14+8) = 56 -50 =6 (остается не 3, а 6 женщин). Много. Числа больше 56, по вышенедоказанным соображениям, пробовать не стоит - не подойдут. Пробуем числа, меньшие, чем 56, но такие, чтобы делились на 2,4 и 7. Есть такое число: 28. Пробуем - подходит. А меньше, чем 28, таких чисел нет (то есть таких, что делятся на 2,4,7). Если бы оказались, пришлось бы пробовать и их, накладывая по-разному доли.

Итак, задача решается не уравнением, а перебором (можно было делать его и с единицы). При этом суть задачи в строгом доказательстве того, что среди чисел, больших 28, больше нет подходящих!

Предусматривал ли Пифагор все эти умные вещи, или мы их сами придумали? Скорее всего - предусматривал. Здесь вправду простой вариант задачки, для детей. Числа нарочно были подобраны так, чтобы получилось единственное решение без совмещения.

Слегка измененная задача: "половина изучает математику, четверть - природу, восьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть еще восемь женщин" имеет три решения: 64, 32 и 16.

Как Вы думаете - решили мы эту задачу, или всего лишь изучили проблему (по-английски problem - задача)?
Математик ставит задачу; инженер ее решает; философ обдумывает - а та ли это вообще задача, которую следует
решать. Кто же тогда литератор?

А есть еще и монахи, и разбойники.

-------------------------------------------------------------------
(Следующий очерк - про четвертое измерение)
04.01.2007 19:54
Очерк второй
МАТЕМАТИКА ЛИТЕРАТОРОВ. Очерк второй. ПЛОСКАТИКИ
------------------------------------------------

Там, где живут плоскатики, нет высоты. Простые плоскатики про нее даже не слышали. Самые простые плоскатики, если на них смотреть сверху или сбоку, похожи на кусочки линии. Если вы такому плоскатику посмотрите в лицо, увидите точку.

Чем плоскатик круглее, тем он важнее. Например, есть
Треугольники, Квадраты, Многоугольники и даже Верховная Окружность.
Сбоку они все похожи! Поэтому плоскатики узнают общественное положение наощупь. Есть формула представления: "Разрешите представить Вам для ощупывания моего друга мистера N и просить Вашего согласия быть ощупанным им". Приличный плоскатик может определить число углов правильного многоугольника, ощупав всего только один его угол.

Однажды Сфера проходила плоскость насквозь, с одной стороны на другую. Она даже не заметила плоскость - ведь плоскость бесконечно тонкая. А плоскатики увидели недостойное поведение круглого Священника: сначала он раздувался, потом стал уменьшаться, а в конце превратился - о ужас - в Точку, и совсем исчез! (Представьте себе последовательные сечения сферы плоскостью).

Если плоскость жизни бесконечно большая и ровная, то можно идти вдаль по прямой бесконечно. Если на
плоскости холмы, то заметить их трудно: ведь взгляд плоскатика изгибается вместе с поверхностью жизни. Но мы-то знаем, что поверхности могут быть кривыми и даже замкнутыми. Если плоскатики живут на поверхности сферы, то прямой путь приведет в точку старта, но с обратной стороны. При этом мы увидим, что плоскатик обошел вокруг сферы. (В модели Фридмана наш мир именно такой: летящий по прямой линии звездолет когда-нибудь вернется в точку
старта. А пространство для полетов то сжимается в точку, то расширяется до максимального размера конечной Вселенной)

Самое время говорить о параллельных мирах. Представьте две параллельные плоскости. Плоскатики с разных плоскостей никогда не могут попадать друг к другу (хотя могут разводить досужие домыслы о жизни в параллельном мире) Напоминаем, что с одной плоскости другая не видна, взгляд не выходит из поверхности. Теперь представьте, что эти две плоскости выгнуты друг к другу и соприкасаются. Тогда настойчивый путешественник сможет отыскать проход и переползти на другую плоскость.

Можно представить еще много чего интересного. Например, на плоскости может торчать вырост вроде пузыря на ножке или родинки. При этом всей остальной плоскости до этого пузыря нет никакого дела, и издали никак не понять, есть он или нет. А если кто-то знает тайное место перехода, он сделает несколько шагов в нужном
месте в нужную сторону (по ножке), и спрячется в пузыре. Такие сказки любил знаменитый исследователь джунглей Южной Америки П.Фосетт. Его сын обработал и издал дневники экспедиций - всех, кроме последней. Возможно, Фосетт верил легендам про могущественные тайные города в джунглях, про негаснущий свет в окнах башен на границах тайных территорий, да и сам он кое-что видел (или это ему почудилось). Последняя экспедиция бесследно исчезла.

В плоской Вселенной возможны быстрые межзвездные полеты.
Например, если лист жизни изогнут так, что точки на разных концах листа смыкаются - тогда можно найти путь короче, чем со стороны изгиба листа.

Плоскатиков придумал Эдвин Эбботт и написал про них в книге "Флатландия", изданной в 1880 году. Вот часть предисловия к книге Д. Бюргера "Сферландия" (Роттердам, 1957 г.):
"... автором романа о Флатландии, который приобрел международную известность, был англичанин Эдвин Э. Эбботт. Он был не математиком, а необычайно одаренным и квалифицированным педагогом. Мистер Эбботт родился 20 декабря 1838 г, а в 1865 г стал директором одной из лондонских школ. Помимо знаменитой "Флатландии", изделиями его пера были школьные учебники, несколько теологических работ, биография Бэкона и "Шекспировская грамматика", которая также приобрела большую известность. Умер Эдвин Э.Эбботт в 1926 г в возрасте 87 лет". На всякий случай проверяем эти цифры: 1926 - 1838 = 88 , а не 87. В чем тут дело, не знаю :)
Слово "плоскатики" сообщил мне физик Н.Козимиров в незапамятные времена. Может быть, он и придумал слово.

------------------------------------------------
Могут ли плоскатики сами, без нас, узнать, что их мир искривлен?

Вот обычный пример из научено-популярной литературы.
Представьте себе треугольник на сфере. Прямые на сфере – это меридианы (фрагменты наибольшей окружности). Видно, что в большом треугольнике, составленном из прямых, углы будут увеличены, и их сумма будет больше 180 градусов. Значит, если свет идет по линиям кратчайшего расстояния, и плоскатикам известна модель неискривленной
плоскости, и они живут на сфере, то они смогут обнаружить кривизну поверхности без длительных путешествий. Такой опыт делали. В начале 20 века с помощью оптических приборов измеряли сумму углов треугольника, образованного тремя горными вершинами в Швейцарии. В пределах погрешности измерений сумма оказалась равной 180 градусам.

Учитывая опыт с простой задачкой (см. очерк 1), теперь нам остается ухмыльнуться и удалиться - или обхватить руками голову ... Были слова: прямая, расстояние. Какая еще прямая на поверхности?
Какой-то "свет" затесался в нашу тему и занял там
неподобающе почетное место. Как это вышло?

Что такое расстояние? Вернее, в КАКОМ понимании (применении) расстояния нас интересует кривизна мира? Мы ходим по нашим полям и лесам, и хотим пешком попасть в одно другое место. Одни лесные тропы (HolzWeige) короче, другие длиннее. Как получается число, которым выражена длина пути? Нам нужно число шагов. Испробовав все лесные тропы, мы найдем кратчайшую. А как уложить шаги? А МОЖНО ли уложить шаги? :)

За поворотом не видно, как идет тропа. На поле видно, куда идти. Если идти туда, куда видно, путь короче. 1) Это экспериментальный факт? это проверено? 2) Свет тоже пробует все варианты пути? 3) И как в нем укладываются шаги?

С прямыми линиями на поверхности математики более или менее разобрались. Они ввели понятие геодезической кривой - это кривая, которая, так сказать, везде идет по локально кратчайшему расстоянию.
(За это определение меня будут бить:) Расстояние (и геодезические кривые) можно вводить по-разному. Как понимают эти термины, когда говорят "свет распространяется по геодезическим линиям"?

А вдруг между вершинами нет пути шагами такой же длины, которую проходит луч света? Опыт с треугольником может показывать, что мир-то всё равно крив, а вот свет идет по прямой вне мира пешеходных путешествий.
(Скорее всего, опыт этого не показывает).

Вопросов много. Но у нас и книжка есть! Давайте-ка почитаем сначала ее - интересно, что написал про эти таинственные предметы в 19 веке Эдвин Эбботт, автор "Шекспировской грамматики".

-----------------------------------------------------

Чтобы отдохнуть от Мыслительной Деятельности, в следующем рассказе вспомним Ильфа и Петрова: "Статистика знает все!"
13.01.2007 21:52
Очерк третий. СТАТИСТИКА ЗНАЕТ ВСЕ
МАТЕМАТИКА ЛИТЕРАТОРОВ. Очерк третий. СТАТИСТИКА ЗНАЕТ ВСЕ

Кто не играл в такую игру - отвечаем на анкету. Вопрос, типа: "Вы, когда начинаете, вы сразу всовываете и кончаете, или сначала ласкаете?" Все дружно отвечают - мы сперва ласкаем! - и получают в ответе, что ее любят. И все в таком духе, прямо в лоб.

А бывает, что экзаменатор быстро задает вопросы:
- "5 или 4"?
- "Кто не синий?"
- "Три ли тещи?"
- "Или не он, или 10?"

И так примерно 200 вопросов. А потом говорит: нет, в
наших органах вы работать не будете. Вы, товарищ, склонны к спонтанному надувательству других и безответственному поведению! Да на каком основании?! Да как вы узнали?! Оказывается, основание есть.

Вспомним тему прошлого очерка и представим себе многомерное пространство. Или нет, сначала наше, трехмерное. А в нем – о ужас! - р... репер. Репер - это три направления, по которым можно измерить расстояние до любой точки. Например, угол Вашей комнаты. От него можно вдоль стен отсчитать расстояние до любого предмета
в комнате. Три известные со школы оси X,Y,Z придумал во
времена мушкетеров Рене Декарт. Теперь отложим по осям
числа, которыми измерены характеристики людей.

По одной оси рост.
По другой - смелость
По третьей - смирение
По четвертой - средний балл диплома
По пятой - число детей
По шестой ....

Характеристик можно придумать больше трех. Каждый
испытуемый попадает в точку в пространстве этих осей. Это похоже на небо со звездами, но оно многомерное. КАК мы все это меряли, пока неважно. Как-то померяли даже смелость. Теперь простейший выбор - берем тех, кто
дальше от начала координат по оси смелости, но не слишком далеко по осям "средний балл" и "рост". В начале координат, где все оси пересекаются, стоит 0. Значит, выбираем самых смелых, но не шибко умных и высоких, и в
танк их! Хорошо? Может быть ...

Рассмотрим отвлеченную на первый взгляд задачу. Как
расположены точки в пространстве измерений? Они равномерно заполняют всю область, или собираются в пространственные (многомерные) облака, фигуры?

Допустим, в проекции на оси "Смелость" и "Рост" испытуемые собрались в два облака: низкие смелые и высокие несмелые. Это уже, можно сказать, открытие. Вообще, если выборка образует четко различимую фигуру в проекции на пространство некоторых измерений, то
говорят, что эти измерения коррелированы, или зависимы. Кто сможет увидеть эти фигуры в многомерном пространстве? Увидеть нельзя, но можно РАССЧИТАТЬ коэффициент корреляции между случайными величинами. Пример коррелированных (но не жестко зависимых) факторов: рост,
вес, возраст и должность.

И все-таки, есть ли облака в пространстве характеристик? Напомним, что каждая точка соответствует одному (или нескольким)испытуемым. Пространство характеристик многомерно, нарисовать его на бумаге трудно, одни цифры. Но можно произвести (иногда несложные) вычисления, которые покажут, есть ли облака. Если есть, то каждое облако соответствует группе людей, в каком-то смысле похожих. Чаще всего совершенно непонятно, в каком именно смысле, но на группы они делятся! Такие группы называют кластерами, а занятие
это - кластерным анализом. Попробуем понять, в каком же смысле похожи представители кластера. Для этого выберем типичного представителя, который расположен в самой середине облака (середину многомерного облака тоже нельзя увидеть, но можно вычислить).

Итак, пусть выборка образует два кластера, в которых типичные представители - А и Б. Ставим их перед строем и смотрим, что же это за люди. И если мы сможем сформулировать или хотя бы внятно почувствовать, как именно они совсем разные ("Свой в доску", "Дохлая интеллигенция"), то пространство измерений было выбрано
хорошо.

Формулы все простые. Искусство авторов теста состоит в выборе характеристик для измерения! Удивительно, что если рассмотреть пространство характеристик вроде такого:

По одной оси рост.
По второй - вариант ответа ("да" или "нет") на вопрос "три ли тещи?" (это измерение, в отличие от нашего
пространства, дискретное)
По третьей - цена брюк испытуемого
По четвертой - сумма цифр номера его машины
По пятой - число детей
По шестой ....

, то может оказаться, что испытуемые делятся на кластеры,
соответствующие каким-то четким формальным ("ветеран труда", "школьник начальных классов") или неформальным характеристикам ("свой в доску", "дохлая интеллигенция"). Конечно, не наверняка, а с известной вероятностью. Для некоторых тестов профориентации вероятность получения верной характеристики близка к 100%. Еще раз обращаем Ваше внимание на то, что возможны тесты-игрушки (поводы поговорить) и тесты-приговоры. В книжках можно встретить, например, тесты, размещающие вашу личность в какой-то классификации (шизоидный тип, параноидальный, антишизоидный и т.п.) Это можно рассматривать, как способ структурировать деятельность, дать опору для дальнейшего чтения\разговора. Между тем, если тест профпригодности с
вероятностью 98% дает 90-балльное смирение, то лучше авиадиспетчером вам не быть.
(Заметим, что к результату теста приложена вероятность правильности этого результата).
Это самое "смирение" может означать, что когда авария неминуема, Вы, горестно обхатив руками голову, упадете ею на пульт и прекратите работу. Между тем, 1) кое-что возможно (и даже предписано) сделать и после аварии 2) можно было предотвратить аварию, вы ошиблись в оценке неотвратимости.

Итак, отвечая на вопросы серьезного теста, Вы, скорее
всего, не поймёте, что хотят о Вас узнать (и, скорее всего, они это узнают). А если Вы вынуждены проходить тест, в котором мало вопросов и они поставлены "в лоб", то этот тест - игрушка, и важных решений на основании такого тестирования принимать
не стоит.
15.01.2007 00:56
Спасибо
Было интересно читать. Особенно здорово написан очерк третий)
""Умер Эдвин Э.Эбботт в 1926 г в возрасте 87 лет". На всякий случай проверяем эти цифры: 1926 - 1838 = 88 , а не 87. В чем тут дело...".
Наверное, дело в том, что когда он умер, ему было неполных 88 лет. То есть Эббот не дожил до своего 88-го дня рождения - на момент смерти ему было 87 лет.

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти