Задачка по вышке

Подскажите пожалйста, как подступиться к такому зверю, нужно найти (описать) простые числа в целостном кольце вида a+sqrt(-5)b, где a и b целые. Или киньте ссылку на материал который поможет при решении этой задачи. Буду очень признателен.

Постые т.е которые можно представить только в виде a*b где a или b - обратимые в кольце, в данном кольце обратимыми будут +-1

Проблема еще и в том, что числа раскладываются на простые неоднозначно. Если рассмотреть на примере одного из чисел получим
9=3*3=(2+sqrt(-5))*(2-sqrt(-5)). После чего доказываем, что 3 и 2+-sqrt(-5) - простые числа. Так вот нужно как-то описать все остальные простые числа или по крайней мере их вид.

Пусть A - целостное кольцо. Элемент a!=0 называется неприводимым, если он не является единицей и если из равенства a=b*c с b(-A и c(-A следует, что b или c - единица. Далее, читаем: Если A факториальное кольцо, то всякий неприводимый элемент p порождает простой идеал (p), поэтому в факториальном кольце неприводимые элементы будут также называться простыми.

Еще более явно тоже самое написано в Айерленде-Роузене "Элементарное введение в современную теорию чисел": Элемент p(-R, не являющийся обратимым, называется неприводимым, если a|p означает, что a - либо обратимый, либо ассоциирован с p. Необратимый элемент p(-R называется простым элементом, если p!=0 и из p|a*b следует, что p|a или p|b.

По поводу предложенного метода - проблема в том, что то, что предложено - очевидные частные случаи. Например 1+sqrt(-5) имеет норму 6, а 6 свободно от квадратов. Попытка взять элементы с фиксированной нормой конечно хорошая, но неверная. Неприятность еще и в том, что, если k не является простым, то z может и не быть неприводимым (элементарные примеры строятся даже в Z). То есть способ не дает не только необходимого, но и достаточного условия. С другой стороны, рассматривая только простые k, мы слишком многое потеряем.

По поводу алгебраической теории чисел. Наука это хорошая, даже просто замечательная, но вот только я почему-то не встречался там с попыткой описания неприводимых элементов в кольцах алгебраических чисел. Подчеркиваю, именно неприводимых, ибо простые описываются, хотя и не всегда описать их бывает просто. А все дело в отсутствии факториальности, тогда как однозначность разложения на простые идеалы есть всегда, что и облегчает исследование простых.

Я же писал в предыдущем сообщении, что нахождение чисел c, для которых у уравнения x^2+5*y^2 = c нет корней, ничего не дает. Оно позволяет найти лишь некоторые неприводимые и не все элементы с нормой c^2 или с^3 будут неприводимыми (или, по Вашей терминалогии, простыми). Примеры приводятся очевидные.

Далее рассматриваемое уравнение не называется уравнением Пелля. Да и потом квадратные уравнения в целых числах решать все-таки наука уже давно умеет. Насколько я пониимаю, разрешимость x^2+5*y^2 = c зависит от того, будет ли 20 квадратичным вычетом по модулю k (во всяком случае если k - протсое), а далее квадратичный закон взаимности и в итоге разрешимость зависит от остатка по модулю 20. За деталями можно обратиться к книжке Боревич-Шаваревич "Тероия чисел". Только опять же, разрешимость уравнений в данной конкретной задаче помогает мало.

На самом деле, если немного подумать, то задача оказывается не такой уж и сложной. Вот решение. Некоторые места доводить до окончательного ответа лень, но там, я надеюсь, не сложно будет
посчитать. Итак.

Лемма 1.
Число классов идеалов поля Q(sqrt(-5)) равно 2.

Proof

Очевидные (более или менее) оценки с константой Минковского.

Лемма 2.
Если a неприводим, то число простых идеалов, на которые разлагается (a), не больше 2, а если равно 2, то все такие идеалы неглавные.

Proof

Действительно, если (a)=p1*p2*...*pn, то число неглавных идеалов четно. Если среди pi есть главные, то, перемножив неглавные, получим разложение вида (a) = a0 * a1, где a0, a1 - главные идеалы (произведение четного числа неглавных - главный, ибо группа классов идеалов Z2), а значит противоречие. Если теперь n>2, то, сгруппировав неглавные идеалы по парам, получим разложение неприводимого элемента в произведение необратимых, а значит опять противоречие.

Лемма 3

Норма неприводимого элемента a - произведение не более, чем 2 простых элементов p1 * p2

Proof.

Если (a) - простой идеал, то утверждение очевидно верно. Если (a) = P1*P2 - произведение неглавных простых идеалов (по лемме 2 их не более 2), то N(P1)*N(P2) = N(a). P1 - неглавный => его норма
проста (степень поля классов не 2), тоже самое для P2 => все доказано.

Def. Определим для удобства w(p) = 1, p простое, принадлежит Z, если p - остается простым элементом в Z[sqrt(-5)].

Лемма 4

Элемент a с нормой p1 * p2, где p1, p2 != 1, неприводим титтк w(p1)*w(p2) = 1

Proof.

Пусть w(p1) = w(p2) = 1, но a = a1 * b1. Тогда N(a1) = p1 и N(b1) = p2. Значит главные идеалы (a1) и (b1) лежат над p1 и p2 соответственно => противоречие с определением чисел w(p). Обратно, пусть a - неприводим, но w(p1) = 0. Тогда p1 = P1 * P2, P1, P2 - главные простые
идеалы. Тогда можно считать, что (a) = P1 * Q, где N(Q) = p2. Из того, что P1 - главный, Q - главный => противоречие.

Итак алгоритм описания неприводимых такой:

Берем элемент a+b*sqrt(-5), вычисляем норму. Если норма простая, то элемент неприводим. Далее, если норма p1*p2, то считаем w(p1) * w(p2). Если это число равно 1, то неприводимость, иначе - нет.

Единственный вопрос, как посчитать w(p). Этим мы сейчас и займемся.
Во-первых, D = -20 - дискриминант нашего расширения. Далее отбросим случаи ветвления простых чисел. Ветвятся только 2 и 5. Легко видеть, что 2 = (2, 1+sqrt(-5))^2, а 5 = - (sqrt(-5))^2. Значит w(2) = 1, w(5) = 0. Теперь, w(p)=1 титтк x^2+5*y^2=p не имеет решений. Это уравнение
имеет решения титтк (-1)^((p-1)/2)*(p/5), где (p/5) - символ Лежандра. За разъяснениями лучше всего обращаться к Боревичу-Шафаревичу "Теория чисел", глава 3, параграф 8. Да, за последнюю формулу не
ручаюсь, может быть наврал немного, но суть остается прежней.

Действительно через идеалы решается все достаточно просто, хотя конечно так сходу до этого не додумаешься. Еще раз большое спасибо.

Я думаю, они есть в библиотеке Независимого.