Задачка по вышке

Автор темы ApTeM 
24.02.2003 21:10
ApTeM
Задачка по вышке
Подскажите пожалйста, как подступиться к такому зверю, нужно найти (описать) простые числа в целостном кольце вида a+sqrt(-5)b, где a и b целые. Или киньте ссылку на материал который поможет при решении этой задачи. Буду очень признателен.
25.02.2003 00:23
Уточните
А простые в смысле по Винбергу или, по-нормальному, образующие главных простых идеалов?
25.02.2003 12:41
ApTeM
уточнение
Постые т.е которые можно представить только в виде a*b где a или b - обратимые в кольце, в данном кольце обратимыми будут +-1
25.02.2003 13:33
Тогда это совсем неприятно
Вообще-то в классическом (традиционном) определении простоты p - простой титтк p| a*b => p|a или p|b, а элементы, не представимые в виде a*b, где b и a необратимы, называются неприводимыми (терминалогия, принятая у Ленга, Айерленда-Роузена и т.д.) Проблема в том, что, если искать первые довольно просто, то вторые не очень. А откуда такая задача?
25.02.2003 17:10
ApTeM
пример
Проблема еще и в том, что числа раскладываются на простые неоднозначно. Если рассмотреть на примере одного из чисел получим
9=3*3=(2+sqrt(-5))*(2-sqrt(-5)). После чего доказываем, что 3 и 2+-sqrt(-5) - простые числа. Так вот нужно как-то описать все остальные простые числа или по крайней мере их вид.
25.02.2003 19:32
читаем Кострикина:
О терминалогии:
Элемент целостного кольца называется ПРОСТЫМ(или неразложимым), если он необратим и его нельзя представить в виде произведения двух необратимых. Простой элемент кольца многочленов называется НЕПРИВОДИМЫМ.

Рассмотрим все целые числа k, т.ч. x^2+5y^2=k не имеет целых решений (x,y). Введем понятие нормы: N(a+b*i*sqrt(5))=a^2+5b^2. Простыми элементами данного кольца будут z, такие что N(z)=k^3 или k^2, где k-из найденных. Какие еще, скажу, если придумаю.....
А еще в Кострикине написано, что подобные вещи изучает алгебраическая теория чисел. Возможно, это линк.....

Кострикин: пример из гл.5 параграф 3.



Босс
25.02.2003 21:45
Читаем Ленга:
Пусть A - целостное кольцо. Элемент a!=0 называется неприводимым, если он не является единицей и если из равенства a=b*c с b(-A и c(-A следует, что b или c - единица. Далее, читаем: Если A факториальное кольцо, то всякий неприводимый элемент p порождает простой идеал (p), поэтому в факториальном кольце неприводимые элементы будут также называться простыми.

Еще более явно тоже самое написано в Айерленде-Роузене "Элементарное введение в современную теорию чисел": Элемент p(-R, не являющийся обратимым, называется неприводимым, если a|p означает, что a - либо обратимый, либо ассоциирован с p. Необратимый элемент p(-R называется простым элементом, если p!=0 и из p|a*b следует, что p|a или p|b.

По поводу предложенного метода - проблема в том, что то, что предложено - очевидные частные случаи. Например 1+sqrt(-5) имеет норму 6, а 6 свободно от квадратов. Попытка взять элементы с фиксированной нормой конечно хорошая, но неверная. Неприятность еще и в том, что, если k не является простым, то z может и не быть неприводимым (элементарные примеры строятся даже в Z). То есть способ не дает не только необходимого, но и достаточного условия. С другой стороны, рассматривая только простые k, мы слишком многое потеряем.

По поводу алгебраической теории чисел. Наука это хорошая, даже просто замечательная, но вот только я почему-то не встречался там с попыткой описания неприводимых элементов в кольцах алгебраических чисел. Подчеркиваю, именно неприводимых, ибо простые описываются, хотя и не всегда описать их бывает просто. А все дело в отсутствии факториальности, тогда как однозначность разложения на простые идеалы есть всегда, что и облегчает исследование простых.
26.02.2003 11:32
ApTeM
уравнение Пелля
Тогда получается чтобы найти все простые, нужно найти все c такие что x^2+5y^2=с не имело бы решений в целых числах, но это уравнение Пелля, и вряд ли есть какой-то общий алгоритм нахождения этих чисел...
26.02.2003 15:34
Это не правда
Я же писал в предыдущем сообщении, что нахождение чисел c, для которых у уравнения x^2+5*y^2 = c нет корней, ничего не дает. Оно позволяет найти лишь некоторые неприводимые и не все элементы с нормой c^2 или с^3 будут неприводимыми (или, по Вашей терминалогии, простыми). Примеры приводятся очевидные.

Далее рассматриваемое уравнение не называется уравнением Пелля. Да и потом квадратные уравнения в целых числах решать все-таки наука уже давно умеет. Насколько я пониимаю, разрешимость x^2+5*y^2 = c зависит от того, будет ли 20 квадратичным вычетом по модулю k (во всяком случае если k - протсое), а далее квадратичный закон взаимности и в итоге разрешимость зависит от остатка по модулю 20. За деталями можно обратиться к книжке Боревич-Шаваревич "Тероия чисел". Только опять же, разрешимость уравнений в данной конкретной задаче помогает мало.
26.02.2003 17:40
ApTeM
about...
Если этот метод не подходит, то каким же методом решать?
27.02.2003 00:10
Решение
На самом деле, если немного подумать, то задача оказывается не такой уж и сложной. Вот решение. Некоторые места доводить до окончательного ответа лень, но там, я надеюсь, не сложно будет
посчитать. Итак.

Лемма 1.
Число классов идеалов поля Q(sqrt(-5)) равно 2.

Proof

Очевидные (более или менее) оценки с константой Минковского.

Лемма 2.
Если a неприводим, то число простых идеалов, на которые разлагается (a), не больше 2, а если равно 2, то все такие идеалы неглавные.

Proof

Действительно, если (a)=p1*p2*...*pn, то число неглавных идеалов четно. Если среди pi есть главные, то, перемножив неглавные, получим разложение вида (a) = a0 * a1, где a0, a1 - главные идеалы (произведение четного числа неглавных - главный, ибо группа классов идеалов Z2), а значит противоречие. Если теперь n>2, то, сгруппировав неглавные идеалы по парам, получим разложение неприводимого элемента в произведение необратимых, а значит опять противоречие.

Лемма 3

Норма неприводимого элемента a - произведение не более, чем 2 простых элементов p1 * p2

Proof.

Если (a) - простой идеал, то утверждение очевидно верно. Если (a) = P1*P2 - произведение неглавных простых идеалов (по лемме 2 их не более 2), то N(P1)*N(P2) = N(a). P1 - неглавный => его норма
проста (степень поля классов не 2), тоже самое для P2 => все доказано.

Def. Определим для удобства w(p) = 1, p простое, принадлежит Z, если p - остается простым элементом в Z[sqrt(-5)].

Лемма 4

Элемент a с нормой p1 * p2, где p1, p2 != 1, неприводим титтк w(p1)*w(p2) = 1

Proof.

Пусть w(p1) = w(p2) = 1, но a = a1 * b1. Тогда N(a1) = p1 и N(b1) = p2. Значит главные идеалы (a1) и (b1) лежат над p1 и p2 соответственно => противоречие с определением чисел w(p). Обратно, пусть a - неприводим, но w(p1) = 0. Тогда p1 = P1 * P2, P1, P2 - главные простые
идеалы. Тогда можно считать, что (a) = P1 * Q, где N(Q) = p2. Из того, что P1 - главный, Q - главный => противоречие.

Итак алгоритм описания неприводимых такой:

Берем элемент a+b*sqrt(-5), вычисляем норму. Если норма простая, то элемент неприводим. Далее, если норма p1*p2, то считаем w(p1) * w(p2). Если это число равно 1, то неприводимость, иначе - нет.

Единственный вопрос, как посчитать w(p). Этим мы сейчас и займемся.
Во-первых, D = -20 - дискриминант нашего расширения. Далее отбросим случаи ветвления простых чисел. Ветвятся только 2 и 5. Легко видеть, что 2 = (2, 1+sqrt(-5))^2, а 5 = - (sqrt(-5))^2. Значит w(2) = 1, w(5) = 0. Теперь, w(p)=1 титтк x^2+5*y^2=p не имеет решений. Это уравнение
имеет решения титтк (-1)^((p-1)/2)*(p/5), где (p/5) - символ Лежандра. За разъяснениями лучше всего обращаться к Боревичу-Шафаревичу "Теория чисел", глава 3, параграф 8. Да, за последнюю формулу не
ручаюсь, может быть наврал немного, но суть остается прежней.
27.02.2003 03:32
Burzhuj
У меня только один вопрос...
...Это кто же на первом курсе задал пусть и не сложную, но требующую некоторых навыков задачу по теории чисел? (О'К, по коммутативной алгебре):-)
Кстати похожии обозначения я видел в книге Айерленда-Роузена:-) Они стандартные или это совпадение?
27.02.2003 06:45
ApTeM
Большое спасибо
Действительно через идеалы решается все достаточно просто, хотя конечно так сходу до этого не додумаешься. Еще раз большое спасибо.
27.02.2003 21:27
У меня только один ответ
Обозначения - это наверное совпадение, ибо вряд ли я подпал под влияние этой книжки, точнее вряд ли я из-под него не вышел за более чем год, что я ее не видел. Кстати, может быть кто-то знает, где можно достать эту замечательную книжку? Просто в букинисте на мехмате ее не видно. А еще очень хочется достать "Алгебраические числа" Ленга, "Алгебраическую теорию чисел" Касселса-Фрелиха. Может быть кто-нибудь подскажет, где их можно купить?

А по поводу задачи - для интересующегося человека она вполне нормальная, даже если этот человек на 1 курсе. Я думаю, что если бы мне было сильно нужно, то и в прошлом году я ее решил бы (а тогда на мехмате я как раз был на 1 курсе).
28.02.2003 11:41
Burzhui
по поводу книг
Я думаю, они есть в библиотеке Независимого.
28.02.2003 23:15
Это конечно хорошо, но
хотелось бы иметь эти книги у себя, купить их. А по поводу библиотеки в НМУ я знаю, у меня даже от туда Ленг с Касселсом-Фрелихом дома лежат
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти