Рассмотрим такую задачу.
Вот у вас есть стержень (как всегда, легкий и тонкий), и на нем как-то расположены грузики (как всегда, маленькие и тяжелые). Требуется найти центр масс стержня с грузиками - на какую точку его опереть, чтобы он был в равновесии. Будем описывать расположение грузиков координатой, которая есть, например, расстояние, скажем, до левого края стержня.
Если все грузики имеют одинаковую массу, то задача решается просто. Нужно сложить координаты всех грузиков - обозначим их, скажем, X1, X2, и так далее, Xn, и поделить на их количество, то есть на n. Получим центр тяжести X:
(1) X=(X1+X2+...+Xn)/n.
Число X, определяемое такой формулой, называется средним арифметическим.
А теперь усложним задачу: перестанем считать, что у грузиков одинаковые массы. Пусть у грузиков известны координаты X1,...,Xn и массы M1,...,Mn. Тогда получается вот такая формула для центра масс:
(2) X=(X1*M1+...+Xn*Mn)/(M1+...+Mn).
Это и есть "среднее взвешенное" чисел X1,...,Xn с "весами" M1,...,Mn. Среднее арифметическое - это лишь частный случай среднего взвешенного: если считать M1=...=Mn=M, то все сократится:
X=(X1*M+...+Xn*M)/(M+...+M)=M*(X1+...+Xn)/(n*M)=(X1+...+Xn)/n.
P.S. для вывода формул (1) и (2) (лучше сразу выводить (2), так как (1) из нее следует) можно нарисовать стержень, на нем грузики, и воспользоваться законом рычага. Проще проводить физические рассуждения для случая двух грузиков (n=2), а потом - по индукции: если заменить пару грузиков одним, масса которого равна сумме их масс, а расположен который в центре масс двух предыдущих, то центр масс не изменится.
