01.11.2010 22:57
критерий равномерной сходимости функций через числовую оценку
Читаю книжку Понтрягина "Обыкновенные дифференциальные уравнения". Там в доказательстве теоремы существования и единственности решения ОДУ есть ссылка на то, что последовательность непрерывных функций $\phi_k$ равномерно сходится к некоторой непрерывной функции, если последовательность чисел $||\phi_{k+1}-\phi_k|| \leq C*a^k$, где $C > 0, a \in (0,1)$. Как доказать это утверждение? Я все пробую, у меня никак не получается. Мысли путаются.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 01.11.2010 23:04.
01.11.2010 22:59
Математический форум
Nomath, вопрос лучше опубликовать на Математическом форуме, не забыв прочитать правила и набрав формулы в техе.
01.11.2010 23:01
ламерская задачка
Не думаю, что там место такой ламерской задачке. Я сам расстраиваюсь, что сейчас не могу ее решить. Чувствую примерно, как надо, а до конца не получается. На том форуме и ветки такой нет, чтобы задачку туда положить.
03.11.2010 15:09
решил
Просто решается на свежую голову. Равномерная сходимость получается, если записать предел $\phi=\lim_n{\phi_n}$ в виде $\phi=\phi_1+\sum_{n>0}{(\phi_{n+1}-\phi_n)}$, и существование функции $\phi$ будет зависеть от сходимости ряда, остаточный член которого оценивается просто. $||\sum_{m>n}{(\phi_{n+1}-\phi_n)}||\leq \sum_{m>n}||\phi_{m+1}-\phi_m||\leq C\frac{a^n}{1-a}$. Поэтому имеется равномерная сходимость.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти