MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ


Этот материал доступен в сети по адресу:
http://www.mmonline.ru/message/2119/


13.02.03 14:20  Заседание Московского Математического Общества 18 февраля 2003 г.

Заседания Московского Математического Общества 18 февраля 2003 г.
(начало в 18 час. 10 мин., ауд.16-24 Главного здания МГУ)

Ю.С.Ильяшенко

Проблемы сохранения в голоморфной динамике и теорема Купки--Смейла для полиномиальных автоморфизмов плоскости

Студенческие чтения

Голоморфная динамика - это теория динамических систем, заданных полиномиальными векторными полями или отображениями. Если степень полинома фиксирована, семейство отображений конечномерно. В таком семействе невозможны локальные возмущения: каждое изменение коэффициентов полиномов, задающих систему, приводит к глобальному изменению системы во всем фазовом пространстве.

Отображение плоскости на себя обладает свойством Купки-Смейла, если все его периодические точки гиперболичны, а их устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются трансверсально. Типичность этого свойства для гладких отображений доказывается с помощью локальных возмущений и теоремы трансверсальности. Для полиномиальных отображений техника локальных возмущений не работает, и приходится пользоваться так называемой стратегией Петровского-Ландиса.

Эта стратегия применяется к доказательству того, что некоторые геометрические свойства (например, трансверсальность устойчивых и неустойчивых многообразий периодических орбит) присущи полиномиальным динамическим системам из некоторого всюду плотного (и даже более массивного) множества. Стратегия состоит в следующем. Предположим, что интересующее нас свойство не выполняется на некотором открытом множестве. Докажем, что тогда это свойство нарушается глобально по пространству параметров. Эта глобальность и формализуется в виде теорем сохранения. Докажем, кроме того, что существует область, может быть, далекая от первой, в которой интересующее нас свойство сохраняется всюду. Это противоречит упомянутой выше теореме сохранения и доказывает локальную типичность изучаемого свойства.

На этом пути доказана типичность свойства Купки-Смейла для отображения Эно (совместная работа Баззарда, Хруски и докладчика). Большинство проблем сохранения, например, проблемы сохранения комплексных предельных циклов, остаются нерешенными.

Доклад не использует сведений, выходящих за рамки первых трех курсов программы мехмата.


Московское Математическое Общество


Copyright © 2000−2021 MMOnline.Ru | http://www.mmonline.ru/