MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ


Этот материал доступен в сети по адресу:
http://www.mmonline.ru/message/4069/


08.03.01 14:33  Задания мартовской олимпиады. 2000 год

Механико-математический факультет МГУ, 2000, март

1. Решить неравенство: \quad \frac{|x-4|}{|x-3|} - \frac{|x-1|}{|x-2|} < \frac{|x-3| + |x+2|}{|x-4|}

2. О первых 7 членах убывающей арифметической прогрессии известно, что сумма пятых степеней всех этих членов равна 0, а сумма их четвертых степеней равна 51. Найти седьмой член прогрессии.

3. Найти все корни уравнения

 \cos{x} \sin{\frac x4} + \frac9{10}\sin{x} + 2\sin{\frac x4}\cos{\frac x2} + \sin{\frac x4} - \frac12\cos{\frac x4} - \frac9{20} = 0,

принадлежащие отрезку  \left[ -\frac92 \pi; -\frac32 \pi \right]

4. Перпендикуляр по боковой стороне AB трапеции ABCD, проходящий через ее середину K пересекает сторону CD в точке L. Площадь четырехугольника AKLD в 5 раз больше площади четырехугольника BKLC,  CL = 3, DL = 15, KC = 4. Найти длину отрезка KD.

5. При каких значениях параметра a уравнение

 \Biggl( \left(\frac32\right)^x + \left(\frac32 \right)^{a-x} - \frac35
    \left(\frac32\right)^a - \frac85 \Biggr)
    \Biggl( \left(\frac32\right)^{2x-2} + \left(\frac32\right)^{2a-2x-3} -
    4\left(\frac32\right)^{2a-5} + 2 \Biggr) = 0

имеет хотя бы одно решение и каждое его решение целое число ?

6. Вершины квадрата PQRS со стороной \frac{25}4 лежат на сфере. Параллельные друг другу прямые проходят через точки P, Q, R, S и повторно пересекают сферу в точках P_1, Q_1, R_1, S_1 соответственно. Известно, что PP_1 = 2, QQ_1 = 10, RR_1 = 6. Найти  SS_1.




Copyright © 2000−2021 MMOnline.Ru | http://www.mmonline.ru/