MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ


Этот материал доступен в сети по адресу:
http://www.mmonline.ru/message/4070/


08.03.01 14:45  Задания майской олимпиады. 2000 год

Механико-математический факультет МГУ, 2000, май

1.Решить неравенство \log_{4x^2}{x^2} \cdot \log_{8x^4}{x^4} \le 1

2. Ваня и Петя ходили за грибами. Перед возвращением домой они обнаружили, что Ваня нашел 35 грибов, среди которых были подосиновики, а Петя грибов не нашел. Ваня взял себе все белые грибы, а остальные отдал Пете. Петя, обнаружив среди них червивый подберезовик, выкинул его. Сколько было найдено подосиновиков, если доля белых в найденных Ваней грибах оказалась равна доле подосиновиков в принесенных Петей домой грибах?

3. Окружность, проходящая через вершины B, C и D параллеолограмма ABCD, касается прямой AD и пересекает прямую AB в точках B и E. Найти длину отрезка AE, если AD = 4 и CE = 5.

4. Найти

\frac{\sin{(\alpha + \gamma)} \sin{(\beta + \gamma)}}{\cos{\gamma}
          \cos{(\alpha + \beta + \gamma)}},\quad \hbox{если} \quad
          \frac{\sin{(\alpha + \gamma)} \sin{(\beta + \gamma)}}
                {\cos{\alpha}\cos{\beta}} = \frac49.

5. Найти все a, при которых уравнение

 (2a + 4)x^2 + (5a + 10)x + a +10 = 0

имеет два корня и между этими корнями расположен ровно один корень уравнения

 (a-1)x^4 - (a-1)x^3 - (a-7)x^2 + (10a + 5)x - a+12 = 0.

6. Параллельные плоскости \alpha и \beta делят тетраэдр ABCD на три части так, что объем средней части меньше объемов каждой из крайних частей. Рассояния от точек A и B до плоскости \alpha равны 15 и 10 соответственно. Расстояния от точек A и C до плоскости \beta равны 10 и 8 соответственно. Найти отношение площадей сечений тетраэда плоскостями \alpha и \beta, если известно, что одно из этих сечений - трапеция, а расстояние от точки D до плоскости \alpha меньше 12.




Copyright © 2000−2021 MMOnline.Ru | http://www.mmonline.ru/