MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ


Этот материал доступен в сети по адресу:
http://www.mmonline.ru/message/4071/


02.04.01 21:04  Задачи из билетов устного экзамена 2000 года

Задачи из билетов устного экзамена 2000 года

1. Найти все x \in [0; 2\pi], для которых выполняются неравенства

 \sin{x} \le \sin{2x} \le \sin{3x} \le \sin{4x} \le \sin{5x}

2. Найти все тройки (x, y, z) натуральных чисел, для которых выполняется равенство

 3xy + 3yz + 3xz = 5xyz + 3.

3. Найти все пары (m, n) натуральных чисел, для которых выполнено равенство

 \log_{m}{(n-7)} + \log_{n}{(5m - 17)} = 1.

4. Пусть точка X лежит на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC с катетами AB = 9 и CB = 12 на расстоянии x от вершины A. Обозначим через n(x) число всех окружностей, проходящих через точки B и X и пересекающих катеты AB и CB в точках P и Q так, что отрезок PQ проходит через середину отрезка BX. Построить график функции y = n(x).




Copyright © 2000−2021 MMOnline.Ru | http://www.mmonline.ru/