MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ


Этот материал доступен в сети по адресу:
http://www.mmonline.ru/message/4072/


10.06.01 18:17  Задания мартовской олимпиады 25 марта 2001 года. Вариант 01-3-2

25 марта 2001г.
Задания мартовской олимпиады
механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова

Вариант 01-3-2

1. Решить уравнение


4x-3|x-1| = 4\sqrt{5x+14} - 3|\sqrt{5x+14}-1|.

2. Решить неравенство


\frac{\log_{(24-2x-x^2)}(x+6)}{\log_{(4-x)}(24-2x-x^2)} < \frac{1}{4}

3. В трапеции ABCD с боковой стороной AB=10 диагонали пересекаются в точке E, а углы AED и ABC равны. Окружность радиуса 13, проходящая через точки A, B и E, пересекает основание AD в точке F и касается прямой CF. Найти высоту трапеции и ее основания.

4. Можно ли подобрать числа A,B,\varphi, \psi так, чтобы выражение


(\cos(x-\frac{\pi}{6})+3)^2 + A\sin(x-\varphi) + B\sin(2x-\psi)

принимало при всех x одно и то же значение С? Если да, то какие значения может принимать константа С?

5. Основанием прямой призмы ABCA'B'C' с высотой \frac{8}{7} служит треугольник ABC, в котором AC=BC=1 и AB = \frac{6}{7}. Через точку пересечения диагоналей грани ABB'A' на расстоянии \frac{11}{17} от точки A проводится плоскость, делящая объем призмы пополам. Какова наибольшая площадь сечения призмы такой плоскостью?

6. Найти все значения a, при которых система


\left\{
\begin{array}{rcl}
ax^2 - 2(a+1)x+a+5&\le& 0\\
(a+1)x^2-2(a+2)x+a+2&\ge&0\\
\end{array}
\right.

имеет единственное решение.




Copyright © 2000−2021 MMOnline.Ru | http://www.mmonline.ru/