MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

Заседание Московского Математического Общества 29 ноября 2005 г.
(начало в 18 час. 10 мин., ауд. 16–24 Главного здания МГУ)

А.А. Гайфуллин
Вычисление характеристических классов многообразия по его триангуляции

В докладе будет рассказано о способах вычисления классов Штифеля-Уитни и Понтрягина многообразия по заданной триангуляции. Мы будем рассматривать следующую постановку задачи: по заданной триангуляции многообразия построить явно симплициальный цикл, представляющий класс гомологий, двойственный по Пуанкаре заданному характеристическому классу многообразия. Для классов Штифеля-Уитни явная формула, задающая такой цикл была найдена Х.Уитни еще в 1940-м году.

Для классов Понтрягина ситуация гораздо сложнее. Как известно, целочисленные классы Понтрягина существенно зависят от гладкой структуры и не являются комбинаторными инвариантами. В конце 50-х годов Р.Том и независимо В.А.Рохлин и А.С.Шварц доказали комбинаторную инвариантность рациональных классов Понтрягина. Однако их доказательство не было конструктивным: оно не давало явного способа построения характеристического цикла по заданной триангуляции. Таким образом, задача о построении комбинаторных формул для рациональных классов Понтрягина оставалась открытой. Впервые такая формула для первого класса Понтрягина была построена в 1975 году в работе А.М.Габриэлова, И.М.Гельфанда и М.В.Лосика.

В докладе будут описаны различные подходы к построению комбинаторных формул для классов Понтрягина, принадлежащие И.М.Гельфанду, Р.Д.МакФерсону, Дж.Чигеру и докладчику. Эти подходы используют совершенно различные методы (теорию ориентированных матроидов, $L_2$-теорию Ходжа и теорию бизвездных преобразований) и приводят к совершенно различным формулам, каждая из которых имеет свои достоинства и недостатки.

Московское Математическое Общество