MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ


Этот материал доступен в сети по адресу:
http://www.mmonline.ru/message/5505/


03.11.06 22:08  Заседание Московского Математического Общества 7 ноября 2006 г.

Заседание Московского Математического Общества 7 ноября 2006 г.
(начало в 18 час. 10 мин., ауд.16–24 Главного здания МГУ).

О.Р.Мусин
Упаковки шаров и контактные числа

В докладе предполагается обсудить проблему упаковки шаров и проблему упаковки сферических шапочек на сфере. Вопрос о контактном числе является важным частным случаем: спрашивается, какое наибольшее число равных шаров в n-мерном евклидовом пространстве может касаться одного шара того же размера. Будем обозначать это число k(n). Контактное число в размерности 3 явилось предметом знаменитой дискуссии между И. Ньютоном и Д. Грегори в 1694 г. После нескольких ошибочных «доказательств» [например, Хоппе (1874)], равенство k(3)=12 было доказано Шютте и ван дер Варденом в 1953 г. В 1978 г. Г.А. Кабатянский и В.И. Левенштейн предложили новый подход в теории кодирования: т. н. метод Дельсарта, и с его помощью нашли верхние границы для плотности упаковки шаров и асимптотическую границу для k(n). В 1979 г., методом Дельсарта, В.И. Левенштейн, и независимо Одлыжко & Слоэн доказали, что k(8)=240, k(24)=196560, а также k(4)<26. В 1997 г., В.В. Арестов и А.Г. Бабенко доказали что методом Дельсарта не может быть получено неравенство: k(4)<25.

В 2003 г. докладчик предложил обобщение метода Дельсарта для сферических упаковок и доказал равенство k(4)=24. Этим же методом получается доказательство (самое простое в настоящий момент): k(3)=12.Недавно, подобным методом, докладчику удалось доказать равенство B(4)=18, где B(n) – одностороннее контактное число (one-sided kissing number). В докладе будут предложены схемы этих доказательств. Основой метода Дельсарта является линейное программирование (ЛП).

В докладе также предполагается обсудить новый метод для теории кодирования, основанный на выпуклом программировании (ВП). В частности, метод ВП дает лучшие верхние границы для k(n) и B(n) чем ЛП.

Никаких предварительных знаний по этой тематике от слушателей не предполагается.


Московское Математическое Общество


Copyright © 2000−2021 MMOnline.Ru | http://www.mmonline.ru/