Задачки

Условие

Натуральное число N является произведением нескольких различных простых чисел таким образом, что N кратно каждому из этих чисел, уменьшенному на единицу. Найти все такие N.

Подсказка

Вы нашли N = 6. Это хорошо. Но, есть еще и другие числа.

Решение

Ответ: N = 6, 42, 1806.
Пусть N = P₁·P₂·…· P_k.
Очевидно, что N – четное.
Отсюда P₁ = 2.
N имеет единственный делитель в интервале (1; P₂), равный P₂ – 1.
Тогда 2 = P₂ – 1 => P₂ = 3.
При k = 2 N = 2·3 = 6.
При k≥3 N имеет единственный делитель в интервале (P₂;P₃), равный P₃ – 1.
Но 2·3 = 6 принадлежит этому интервалу => 6 = P₃ – 1 => P₃ = 7.
При k = 3 N = 2·3·7 = 42.
При k≥4 N имеет единственный делитель в интервале (P₃;P₄), равный P₄ – 1.
Аналогично P₄ = 2·7 + 1 = 15 – составное число, не годится или P₄ = 2·3·7 + 1 = 43 – годится.
Итак при k = 4 N = 2·3·7·43 = 1806.
При k≥5 перебираем:
P₅ = 2·43 + 1 = 87 = 3·29 или
P₅ = 2·3·43 + 1 = 259 = 7·37 или
P₅ = 2·7·43 + 1 = 603 = 3²·67 или
P₅ = 2·3·7·43 + 1 = 1807 = 13·139
и убеждаемся, что все эти числа составные и, таким образом k≤4.