Задачки

Условие

Натуральное число N равно сумме некоторых трех различных делителей числа N – 1.
Найти все такие числа

Подсказка

Пусть N = X + Y + Z, где X, Y, Z – натуральные делители N – 1, причем X > Y > Z.
Очевидно, что X > (N – 1)/3

Решение

Ответ: 13 = 6 + 4 + 3; 31 = 15 + 10 + 6
Пусть N = X + Y + Z, где X, Y, Z – натуральные делители N – 1, причем X > Y > Z.
Очевидно, что X > (N – 1)/3, то есть X = (N – 1)/2.
Аналогично Y = (N – 1)/3.
Далее Z = N – (N – 1)/2 – (N –1)/3 = (N + 5)/6 > (N –1)/6.
Таким образом, возникает две возможности Z = (N – 1)/4 и Z = (N – 1)/5.
Решая уравнения
N = (N – 1)/2 + (N – 1)/3 + (N – 1)/4
и
N = (N – 1)/2 + (N – 1)/3 + (N – 1)/5
получаем N = 13 и N = 31.