Задачки

Условие

Существуют ли 19 попарно различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, таких, что их сумма равна 2022?

Подсказка

Рассмотрите остатки от деления на 9

Решение

Ответ: Нет, не существуют
Пусть сумма цифр каждого числа равна S = 9k + n, n = 0, 1, …, 8.
Тогда все эти числа имеют остаток n при делении на 9 и имеем 19n = 18n + n = 2022 (mod 9) = 6.
То есть S = 6, 15, 24, …
Пусть S = 6.
Рассмотрим 19 наименьших чисел с суммой цифр, равной 6.
Это 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60, 105, 114, 123, 132, 141, 150, 204, 213, 222, 231, 240, 303
Их сумма равна 2409 > 2022
Пусть S = 15.
Уже сумма 15 наименьших чисел с суммой цифр, равной 15 составляет
69 + 78 + 87 +96 + 159 + 168 + 177 + 186 + 195 + 249 + 258 +267 +276 = 2265 > 2022
Пусть k ≥ 2, то есть S ≥ 24.
Наименьшее число с такой суммой цифр равно 699.
Очевидно, сумма 19 таких чисел будет больше 2022