Задачки

Условие

Дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, где a, b, c – натуральные числа, не превосходящие 100.
Также известно, что числа a, b, c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.
Какой наименьший корень может иметь такое уравнение?

Подсказка

Может ли такое уравнение иметь корень –7 (минус семь)?

Решение

Ответ: –50
Может ли такое уравнение иметь корень –7 (минус семь)?
В этом случае c кратно 7.
Например, уравнение x² + 9x + 14 = 0 имеет корень –7 (уравнение x² + 8x + 7 = 0 не удовлетворяет условиям задачи).
Пусть наименьший (отрицательный) корень уравнения ax² + bx + c = 0 равен –p и предположим p ≥ 51.
Подставляем x = p, получаем ap² –bp + c = 0.
Тогда c кратно p, но так как c ≤ 100 и p ≥ 51, то c = p.
ap – b + 1 = 0.
ap = b – 1.
Так как p ≥ 51 и b ≤ 100, то a = 1.
Получаем c = p = b – 1. Это противоречит условиям задачи.
Значит, p ≤ 50.
Пример. Уравнение x² + 52x + 100 = 0 имеет корни –50 и –2.