Задачки

Условие

Решить в простых числах уравнение
x⁵ – y³ = x + y

Подсказка

Рассмотрите остатки от деления x и y на 3

Решение

Ответ: x = 2, y = 3
Если ни одно из чисел x и y не делится на 3 и остатки от деления x и y на 3 совпадают, то левая часть делится на 3, а правая – нет.
Если ни одно из чисел x и y не делится на 3 и остатки от деления x и y на 3 различны, то правая часть делится на 3, а левая – нет.
Таким образом, одно из чисел делится на 3, то есть равно трем.
Пусть x = 3
243 – y³ = 3 + y
y·(y² + 1) = 240 = 2⁴·3·5
Отсюда y = 2 или y = 3 или y = 5 (так как y – простой делитель 240)
Все это не годится.
Пусть y = 3
x⁵ – 27 = x + 3
x·(x⁴-1) = 30 = 2·3·5
Отсюда x = 2 или x = 3 или x = 5 (так как x – простой делитель 30)
Годится только x = 2