Задачки

Условие

На доске написаны числа от 1 до 2023.
Александр и Борис по очереди стирают по одному числу до тех пор, пока не останутся два числа p и q.
Первым стирает Александр.
Если хотя бы у одного из уравнений x² + px + q = 0 и x² + qx + p = 0 есть целый корень, то Александр выигрывает.
Сможет ли Борис ему помешать?

Подсказка

Александр выигрывает

Решение

Ответ: выигрывает Александр. Он сможет обеспечить наличие корня x = –1 у одного из уравнений
Первым ходом Александр стирает число 2023.
Разобьем остальные числа на пары (2k–1; 2k).
Борис стирает одно из чисел одной из пар – Александр в ответ стирает второе число из этой же пары.
В итоге после последнего хода Александра на доске остается пара (2k–1; 2k).
Выбираем p = 2k, q = 2k–1.
Как легко проверить уравнение x² + px + q = 0 имеет целый корень x = –1