02.04.24 23:56 |
Найти все натуральные числа, равные квадрату числа своих делителей |
Условие
Найти все натуральные числа, каждое из которых равно квадрату числа своих делителей.
Само число и единица входят в число делителей.
Подсказка
Количество делителей квадрата натурального числа нечетно.
Решение
Ответ: 1 и 9
Пусть число n = m2 имеет m > 1 различных делителей.
Все отличные от m делители числа n можно разбить на пары так, чтобы произведение чисел в каждой паре равнялось n.
Пусть количество таких пар равно k.
Тогда m = 2k + 1, а число n нечетно и имеет ровно k делителей меньших m.
Поэтому n делится на все нечетные числа, меньшие 2k + 1.
Число 2k – 1 является делителем n = (2k + 1)2.
k ≤ 3
[все задачки]
|