Задачки

Условие

Некоторый треугольник можно вырезать из бумажной полоски единичной ширины, а из любой полоски меньшей ширины его вырезать нельзя.
Какую площадь может иметь этот треугольник?

Подсказка

Рассмотрите высоты этого треугольника

Решение

Ответ: площадь треугольника больше или равна 1/sqrt(3)
Покажем вначале, что если площадь треугольника S меньше 1/sqrt(3), то его можно вырезать из полоски шириной меньше 1.
Достаточно доказать, что у него есть высота меньше 1 (или сторона a > 2S).
Предположим, что все стороны треугольника не превосходят 2S, а γ – наименьший из углов треугольника.
Тогда S = a·b·sin(γ)/2 ≤ a·b·sqrt(3)/4 ≤ sqrt(3)*S². Получается S ≥ 1/sqrt(3) – противоречие.

Рассмотрим равнобедренный треугольник с высотой 1 и основанием a ≥ 2·sqrt(3).
Боковые стороны имеют длину не больше длины основания, поэтому у данного треугольника нет высот меньших 1.
Покажем, что такой треугольник нельзя вырезать из полоски шириной меньше 1.
Пусть треугольник ABC расположен внутри полосы шириной меньше 1.
Проведем через его вершины прямые, перпендикулярные сторонам полоски.
Пусть для определенности прямая, проходящая через вершину B, заключена между двумя другими прямыми.
Тогда она пересекает сторону AC в некоторой точке M.
С одной стороны BM < 1.
С другой стороны BM ≥ h_b ≥ 1.
Противоречие.