Задачки

Условие

Решите в натуральных числах уравнения
а) 3^x + 1 = 2^y;
б) 3^x – 1 = 2^y

Подсказка

В каких ситуациях левые части уравнений будут иметь хотя бы один нечетный делитель, больший единицы?

Решение

Ответ: а) x = 1, y = 2; б) x = 1, y = 1 и x = 2, y = 3
Покажем, что других решений нет, а именно покажем, что числа 3^x + 1 и 3^x – 1 при x > 2 имеют хотя бы один нечетный делитель, больший единицы.

Пусть x – четно, x = 2n.
3ⁿ – нечетно, 3ⁿ = 2s +1
3^x = (3ⁿ)² = 4s² + 4s +1
3^x + 1 = 2(2s² + 2s + 1), число 2s² + 2s + 1 нечетно
3^x – 1 = 4s(s + 1), одно из чисел s и s + 1 нечетно

Пусть x – нечетно.
3^x + 1 = (3 + 1)(3^{x – 1} – 3^{x – 2} + ... + 1)
3^x – 1 = (3 – 1)(3^{x – 1} + 3^{x – 2} + … + 1)
Вторые сомножители в этих двух произведениях являются суммами нечетного числа нечетных слагаемых, то есть нечетными числами