Задачки

Условие

Известно, что последними цифрами квадратов целых чисел могут быть лишь цифры 0, 1, 4, 5, 6, 9.
Верно ли, что перед последней цифрой в квадратах может встретиться любая группа цифр, то есть, что для любого набора из n цифр a₁, a₂, …, a_n можно найти целое число, квадрат которого оканчивается цифрами a₁a₂…a_nb (где b – одна из вышеперечисленных цифр)?

Подсказка

Рассмотрите, например, квадрат, оканчивающийся на 005b

Решение

Ответ: Нет
Известно, что если предпоследняя цифра точного квадрата нечетна, то последняя равна 6.
Это вытекает из того, что предпоследняя цифра квадрата любого числа и предпоследняя цифра квадрата его последней цифры имеют одинаковую четность.
А у квадрата однозначного числа предпоследняя цифра нечетна только в двух случаях: 4² = 16 и 6² = 36.
Покажем, что точный квадрат не может заканчиваться на 005b.
По доказанному он должен оканчиваться на 0056.
Тогда он делится на 8 и не делится на 16, что, очевидно, невозможно для квадрата.