Задачки

Условие

М – множество точек на плоскости.
Точка О плоскости называется «почти центром симметрии» множества М, если из М можно выбросить одну точку таким образом, что для оставшегося множества точка О является центром симметрии в обычном смысле.
Сколько «почти центров симметрии» может иметь конечное множество точек на плоскости?

Подсказка

Множество M имеет конечное число «почти центров симметрии»

Решение

Ответ: Конечное множество точек на плоскости может иметь 0, 1, 2, 3 «почти центров симметрии».
Покажем, что больше трех «почти центров симметрии» конечное множество точек на плоскости иметь не может.
Прежде всего, отметим, что множество M имеет конечное число «почти центров симметрии», поскольку ими могут быть только середины отрезков, соединяющих точки множества М.
Выберем теперь такую прямую, при проекции на которую точки множества М и его «почти центры симметрии» не сливаются.
Поскольку при проекции на прямую центр симметрии множества точек снова переходит в центр симметрии, достаточно доказать наше утверждение для точек, лежащих на одной прямой.
Рассмотрим множество точек на прямой с координатами x₁ < x₂ < ... < x_n (см. рисунок 1а).
Если мы выбросим первую точку, то центром симметрии оставшегося множества может быть только точка с координатой (x₂ + x_n)/2 (см. рисунок 1б), если выбросим последнюю – то только точка с координатой (x₁ + x_n–1)/2 (см. рисунок 1в), если мы выбросим какую-нибудь не крайнюю точку, то центром симметрии оставшегося множества может быть только точка с координатой (x₁ + x_n)/2 (на рисунке 1г выбросили среднюю точку – центр симметрии оставшегося множества попадает на нее).