Задачки

Условие

Две параболы расположены на плоскости так, что их оси взаимно перпендикулярны и параболы пересекаются в четырех точках.
Пусть для определенности параболы заданы уравнениями x = ay² + b (a > 0, b < 0) и y = cx² + d (c > 0, d < 0) .
Верно ли, что эти четыре точки лежат на одной окружности?

Подсказка

x/a = y² + b/a
y/c = x² + d/c

Решение

Ответ: Да, верно
x/a = y² + b/a
y/c = x² + d/c
Сложим эти два уравнения, получим уравнение окружности
(x – 1/(2a))² + (y – 1/(2c))² = 1/(4a²) + 1/(4c²) – b/a – d/c
Правая часть уравнения положительна, так все слагаемые положительны