Задачки

Условие

Назовем натуральное число равновесным, если в его десятичной записи некоторое начало совпадает с некоторым концом (например, числа 1961, 25325, 1236123 равновесные, а число 2025 – нет).
Существует ли число, которое после приписывания к нему справа любой из десяти цифр становится равновесным?

Подсказка

Да, существует

Решение

Ответ: Да, существует
Возьмем a₀ = 0.
Припишем к нему слева и справа по единице.
Получим a₁ = 101.
К каждой цифре числа 101 припишем справа цифру 2, затем припишем цифру 2 слева.
Получим a₂ = 2120212.
С этим числом проделаем ту же операцию, приписывая к каждой его цифре цифру 3 справа и затем цифру 3 в начало.
Получим a₃ = 323132303231323.
Продолжая указанным способом последовательно приписывать цифры 4, 5, 6, 7, 8, 9, получим в результате число a₉ = 9897989 … 9897989, состоящее из 2¹⁰ – 1 = 1023 цифр.
Число a_k обладает следующим свойством: после приписывания к нему справа цифры m (m ≤ k), некоторое его начало совпадает с концом, а именно первые 2^k–m цифр – такие же, как последние 2^k–m цифр.
Таким образом, число a₉ является искомым.
Укажем примеры приписывания цифр справа к числу a₉.
Припишем к a₉ справа 9. Получим 9897989 … 98979899. Совпадают первая и последняя цифры.
Припишем к a₉ справа 8. Получим 9897989 … 98979898. Совпадают первые две и последние две цифры.
Припишем к a₉ справа 7. Получим 9897989 … 98979897. Совпадают первые четыре и последние четыре цифры.
И т.д.