Задачки

Условие

Совокупность A состоит из различных натуральных чисел.
Количество чисел в A больше семи.
Наименьшее общее кратное всех чисел из A равно 210.
Для любых двух чисел из A их наибольший общий делитель больше единицы.
Произведение всех чисел из A делится на 1920 и не является квадратом целого числа.
Найти числа, из которых состоит A.

Подсказка

210 = 2·3·5·7
1920 = 2⁷·3·5

Решение

Ответ: A = {6, 10, 14, 30, 42, 70, 105, 210}
Так как наименьшее общее кратное всех чисел из A равно 210 = 2·3·5·7, то множество A является подмножеством множества B = {2, 3, 5, 7, 2·3, 2·5, 2·7, 3·5, 3·7, 5·7, 2·3·5, 2·3·7, 2·5·7, 3·5·7, 2·3·5·7}.
Поскольку произведение всех чисел из A делится на 1920 = 2⁷·3·5, то в A входят 7 или 8 чисел из множества C = {2, 2·3, 2·5, 2·7, 2·3·5, 2·3·7, 2·5·7, 2·3·5·7}.
Число 2 не может принадлежать A, так как тогда A =C и произведение всех чисел из A является квадратом числа 2⁴·3²·5²·7².
Следовательно, каждое число множества D = {2·3, 2·5, 2·7, 2·3·5, 2·3·7, 2·5·7, 2·3·5·7} входит в A.
В A должно входить еще, по крайней мере, одно число. Очевидно, это 3·5·7.
Итак, A = D ∪ {3·5·7}